Aufgabe:
Von einer normal verteilten Population von Menschen kennt man die durchschnittliche Körpergrösse; sie beträgt 170 cm. Ferner weiss man, dass 80% dieser Menschen zwischen 160 cm und 180 cm gross sind. a) Bestimmen Sie die Parameter μ und σ dieser Normalverteilung.
Problem/Ansatz:
μ=170, mittels Standardisierung kann ich diese Gleichung aufstellen:
Φ(10/σ)-Φ(-10/σ)=0.8
Von hier komme ich aber nicht weiter, ich wollte nun Φ(0.8) nachschauen und dann nach σ auflösen, aber das ist falsch.
Vielleicht so:Φ(10/σ)-Φ(-10/σ)=0.8Φ(-10/σ)=0.110/σ=1.28155σ=7.803.
Hi, also deine Lösung stimmt jedenfalls, ich verstehe es aber irgendwie trotzdem noch nicht. Wie kommst du beim ersten Schritt auf 0.1? und wieso fällt Φ(10/σ) weg?
Allgemein gilt Φ(-x)=1-Φ(x).
Der Symmetrie halber, gilt Φ(−z)=1−Φ(z)\colorbox{#FCC}{ $ \Phi(-z)=1-\Phi(z) $} Φ(−z)=1−Φ(z). Du kannst also vereinfachen:
Φ(10σ)+Φ(10σ)−1=0.8\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)+\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)-1=0.8Φ(σ10)+Φ(σ10)−1=0.82Φ(10σ)=1.82\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)=1.82Φ(σ10)=1.8Φ(10σ)=0.9∣Φ−1(...)\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)=0.9 \quad |\Phi^{-1}(...)Φ(σ10)=0.9∣Φ−1(...)10σ=1.282⟺σ=101.282≈7.8\frac{10}{\sigma}=1.282 \Longleftrightarrow \sigma=\frac{10}{1.282}≈ 7.8σ10=1.282⟺σ=1.28210≈7.8
Bemerkung:
Φ(10σ)−Φ(−10σ)=Φ(10σ)− (1−Φ(10σ)) =Φ(10σ)+Φ(10σ)−1 \begin{aligned}\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)-\Phi\left(-\frac{10}{\sigma}\right)=\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)-\colorbox{#FCC}{ $ \ \left(1-\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)\right)\ \, $} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad=\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)+\Phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)-1\end{aligned} Φ(σ10)−Φ(−σ10)=Φ(σ10)− (1−Φ(σ10)) =Φ(σ10)+Φ(σ10)−1
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