0 Daumen
398 Aufrufe

Sei A = {1, 2, ... , 6} × {1, 2, ... , 6} die Menge aller Ergebnisse beim Würfeln von einem roten und einem grünen Würfel (rot die erste und grün die zweite Zahl).

Über A sind drei Äquivalenzrelationen ~, ≅, ≈ wie folgt definiert:

a) (a, b) ~ (c, d) ⇔ |a - b| = |c - d|

b) (a, b) ≅ (c, d) ⇔ (a + b) ≡ (c + d) mod 7

c) (a, b) ≈ (c, d) ⇔ a · b = c ·d

 

Zu bestimmen sind für diese drei Äquivalenzrelationen jeweils die Anzahl der Äquivalenzklassen sowie ein Repräsentantensystem und für jeden Repräsentanten die Größe seiner Äquivalenzklasse.

 

Grafik:

Äquivalenzrelationen II

Gefragt von

1 Antwort

0 Daumen

Mal zur ersten Äquivalenzrelation:   

Wenn man alles in einer 36*36-Matrix aufschreibt, sieht man, dass betragsmässig 6 verschiedene Differenzen vorkommen. 0, 1,2,3,4,5

    11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51

11      0                                    0                                      0                                     0                 

12           1                           1         1                          1      1                            1         1

13               2                                     2                  2                2                  2                  2

14                      3                                     3                                       3                                      

15                           4                                      4                                                                    4

16                               5

 

Etwas übersichtlicher ist eine 6*6-Matrix. Hier sind die Äquivalenzklassen farbig hervorgehoben. 

 123456
1012345
2101234
3210123
4321012
5432101
6543210

(1,1), (1,2), (1,3),(1,4), (1,5), (1,6) wären Repräsentanten der 1 Äquivalenzklassen.

Zugehörige Grössenangaben der Reihe nach

6,       10,    8,        6,   4,            2

 

Bei b) und c) analog vorgehen erst mal die Summen modulo 7 resp. die Produkte der Augenzahlen berechnen.

Abgekürzt direkt in der 6*6-Matrix, Äquivalenzklassen und Repräsentanten bestimmen und dann noch die Elemente der Klassen zählen. Kontrolle: Total sollte 36 rauskommen.

Beantwortet von 144 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...