wie berechnet man die Kurvenintegrale direkt und unter Verwendung einer Stammfunktion?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie jeweils für die folgenden Fälle die Kurvenintegrale ∫ v·ds direkt und außerdem unter Verwendung einer Stammfunktion falls v ein Potenzialfeld ist. In diesem Fall vergleichen Sie beide Ergebnisse.

a) v(x,y) = (y,x-y)^T   ,  x(t) = (t,t²)^T für 0≤t≤1

b) v(x,y,z)=(y-x,-y,1)^T  , x(t)=(-sin t, cos t, t)^T     für 0≤t≤2pi

Problem/Ansatz:

weiß jemand von euch welchen Ansatz ich benutzen muss. Integrale an sich kann ich ausrechnen, aber bei der Aufgabe weiß ich gar nicht, was ich berechnen muss und welches die Grenzen sind. Danke schönmal für jede Hilfe

Comments

Ist das richtig so ? Und falls ja wie soll ich das jetzt noch unter Verwendung der Stammfunktion berechnen ?

Answer 1

Aloha :)

Die Art, wie du das Integral direkt berechnet hast, ist korrekt. Aufgabenteil (b) kannst du so analog berechnen. Bei Aufgabenteil (a) kann man aber noch ein Potential \(\Phi(x,y)\) verwenden. So ein Potential ist eine Stammfunktion, deren Gradient gleich der Funktion \(v(x,y)\) ist:

$$\Phi(x,y)=yx-\frac{y^2}{2}\quad;\quad\text{grad}\,\Phi(x,y)=\left(\begin{array}{c}y\\x-y\end{array}\right)=\vec v(x,y)$$Wenn ein solches Potential vorliegt, kannst du das Kurvenintegral sofort hinschreiben, weil sich Integration und Differentiation "gegenseitig aufheben":

$$\int\limits_{(x_0,y_0)}^{(x_1,y_1)}\vec v\,d\vec r=\int\limits_{(x_0,y_0)}^{(x_1,y_1)}\text{grad}\,\Phi(x,y)\,d\vec r=\Phi(x_1,y_1)-\Phi(x_0,y_0)$$