Den Wert s der geometrischen Reihe mit Differenzbildung bestimmen und dann allgemeine Formel herleiten.

Question

Aufgabe:

Der Wert s der geometrischen Reihe

\( s=\sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{i}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots \)

kann ohne Kenntnis de allgemeinen Formel auch so berechnet werden:

\( \begin{array}{l}{s=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots} \qquad |·2 \\ {2 s=2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots} \qquad | \text{Differenzbildung} \\ {s=2 s-s=2}\end{array} \)

a) Wendet man die gleiche Idee ( Multiplikation mit 2, Differenzbildung) auf die Reiche  r = 1+2+4+8+16+... an, so erhält man das offensichtlich unsinnige Ergebnis r = -1. Erklären Sie, worin das Problem besteht.

b) Untersuchen sie die Korrektheit de obigen Vorgehensweise zur Berechnung von s.

c) Nutzen Sie obige Idee für eine korrekte Herleitung der Formel

$$\sum_{i=0}^{n} q^{i}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
für q ≠ 1 (ohne Induktion).

Answer 1

Aloha :)

$$S_n=\sum\limits_{i=0}^nq^i=1+q+q^2+q^3+\cdots+q^n$$$$q\cdot S_n=q\cdot\sum\limits_{i=0}^nq^i=q+q^2+q^3+q^4+\cdots+q^{n+1}$$Differenzbildung:$$S_n-q\cdot S_n=\left(1+q+q^2+q^3+\cdots+q^n\right)-\left(q+q^2+q^3+q^4+\cdots+q^{n+1}\right)$$Fast alle Summanden heben sich gegenseitig auf. Aus der ersten Klammer bleibt \(1\) und aus der letzten Klammer bleibt \(q^{n+1}\) stehen:

$$S_n-q\cdot S_n=1-q^{n+1}$$$$(1-q)\cdot S_n=1-q^{n+1}$$$$S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad\text{falls}\quad q\ne1$$

Comments

Wie könnte man denn a) begründen?

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Die Summe konvergiert nur für \(|q|<1\). Das siehst du schön an der Summenformel. Wenn \(q=2\) ist, wird im Zähler \(1-2^{n+1}\) für \(n\to\infty\) gegen \(-\infty\) laufen. Der Nenner ist mit \(1-2=-1\) konstant, also konvergiert die Summe nicht.