Berechnen Sie s, mit der geometrischen Summenformel und geben Sie das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie \( s=\sum \limits_{k=0}^{4}\left(-\frac{2}{3}\right)^{k+2} \) mit der geometrischen Summenformel und geben Sie das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an. 

Problem/Ansatz:

Kann einer bei der Lösung helfen? Bekomme 220/729 raus und weiß nicht ob dies richtig ist.  :/

Answer 1

Aloha :)

$$s=\sum\limits_{k=0}^4\left(-\frac{2}{3}\right)^{k+2}$$$$\phantom{s}=\sum\limits_{k=0}^4\left(-\frac{2}{3}\right)^{k}\left(-\frac{2}{3}\right)^2=\sum\limits_{k=0}^4\left(-\frac{2}{3}\right)^{k}\cdot\frac{4}{9}=\frac{4}{9}\cdot\sum\limits_{k=0}^4\left(-\frac{2}{3}\right)^{k}$$$$\phantom{s}=\frac{4}{9}\cdot\frac{1-\left(-\frac{2}{3}\right)^5}{1-\left(-\frac{2}{3}\right)}=\frac{4}{9}\cdot\frac{1-\left(-\frac{2^5}{3^5}\right)}{\frac{5}{3}}=\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{5}\cdot\left(1+\frac{2^5}{3^5}\right)=\frac{4}{15}\cdot\frac{3^5+2^5}{3^5}$$$$\phantom{s}=\frac{4}{15}\cdot\frac{275}{243}=\frac{4}{3}\cdot\frac{55}{243}=\frac{220}{729}$$Du hast alles richtig gerechnet :)

Answer 2

Scheint zu stimmen: https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+k%3D0+to+4+%28-2%2F3%29%5E%28k%2B2%29