Spezielle Lösung einer DGL

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie die spezielle Lösung für y‘(t) = 2t y(t) mit y(2) = 4.

Problem/Ansatz:

Meine Frage ist, wie man an speziellen Lösungen rangehen muss? Wie ist die Herangehensweise bei speziellen Lösungen? Welche Schritte sind für die o.g. Aufgabe notwendig?

Answer 1

y'(t) = 2t * y(t)

dy/dt = 2t * y

1/y dy/dt = 2t

1/y dy = 2t dt

log(y) + C1 = t² + C2

log(y) = t² + C2 - C1

y = e^(t² + C2 - C1)

y = e^(t²) * e^C2 / e^C1

y(t) = C * e^(t²)

und wegen y(2) = 4

y(t) = 4 * e^(t²-4)

Comments

erstmal vielen lieben Dank für die detaillierte Erklärung.

Ich habe alles bis auf einen der Schritte verstanden.

$$y=e^{t^{2}+C_{1}-C_{2}}$$

$$y=e^{t^{2}} * e^{C_{1}} / e^{C_{2}}$$

Ist das ein Potenzgesetz, dass Addition zur Multiplikation und Subtraktion zur Division wird, wenn man die Potenzen zerteilt?

---

y = e^(t²) * e^C2 / e^C1      y(t) = C * e^(t²)

C = e^C2 / e^C1  könnte dann also nur positiv sein?  

---

Die Lösung passt doch nicht so ganz...

In meiner Lösungsskizze steht:

y= c * exp(t²)

c=4*e^-4

Answer 2

y'(t)= 2t *y(t) ,y(2)=4

dy/dt= 2t *y

dy/y= 2t dt

ln|y| =t²+C | e hoch

|y|=e^(t²+c) =e^(t²) *e^C

y= e^(t²) * ±e^C

y= e^(t²) * C₁

_{AWB: y(2)=4}

_{y= e^(t²) * C1}

_{4= e⁴ *C1}

_{C1= 4/(e⁴)}

_----------<

_{y=(4/e⁴) *e^(t²)}

_{y=4 e^(t²-4)}

_{Das Ergebnis ist richtig.}

Comments

Ich nehme alles zurück. Das hatte ich bereits gefragt und die Antwort auch bekommen (leider durch den Stress momentan vergessen). Kam nur nochmal durcheinander weil:

$$\frac {4} {e^4} = 4e^{-4}$$

Von daher passt das alles.