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Aufgabe:

Anna nimmt einen Kredit auf. In 20 Jahren bekommt Sie ihren Sparvertrag ausgezahlt, also will sie ihn nach 20 Jahren auf einmal zurückzahlen. Die erste Bank bot ihr 8% Kreditzinsen pro Jahr. Die zweite Bank bot ihr 6% pro Jahr, allerdings verrechnet diese Bank eine Gebühreinmalig iHv 500€. Bei welcher Kreditsumme ist die erste Bank günstiger als die zweite?

Die Gebühr wird mitverzinst


Problem/Ansatz:

Mein Problem ist erstmal, dass ich gar nicht weiß um welche Summe es geht. Da es aber scheinbar einen exakten Punkt Gib ab wann die Bank günstiger ist als die andere kann ich mir ja keine Summe ausdenken

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Aloha :)

Dein Problem kannst du lösen, indem du das geliehene Kapital erstmal als Variable \(K\) bezeichnest. Bei der ersten Bank laufen 20 Jahre lang jedes Jahr 8% Zinsen auf. Die Schulden \(S_1\) bei Bank 1 betragen daher mit Zinseszinsen nach 20 Jahren \(S_1=K\cdot\left(1+\frac{8}{100}\right)^{20}=K\cdot1,08^{20}\). Die zweite Bank verlangt nur 6% Zinsen, jedoch muss Anna 500€ mehr an Kredit aufnehmen, die sie nicht ausbezahlt bekommt, die aber mit verzinst werden. Nach 20 Jahren betragen die Schulden \(S_2\) bei Bank 2 daher \(S_2=(K+500)\cdot\left(1+\frac{6}{100}\right)^{20}=(K+500)\cdot1,06^{20}\). Es ist nun gefragt, bei welchen Krediten \(K\) die Schulden \(S_1\) kleiner sind als die Schulden \(S_2\). Daraus kannst du \(K\) wie folgt bestimmen:

$$S_1<S_2$$$$K\cdot1,08^{20}<(K+500)\cdot1,06^{20}$$$$\left.K\cdot1,08^{20}<K\cdot1,06^{20}+500\cdot1,06^{20}\quad\right|\;-K\cdot1,06^{20}$$$$K\cdot1,08^{20}-K\cdot1,06^{20}<500\cdot1,06^{20}$$$$\left.K\cdot\left(1,08^{20}-1,06^{20}\right)<500\cdot1,06^{20}\quad\right|\;:\left(1,08^{20}-1,06^{20}\right)$$$$K<500\cdot\frac{1,06^{20}}{1,08^{20}-1,06^{20}}$$$$K<1103,00$$Die Aufgabe scheint schon sehr alt zu sein, denn welche Bank nimmt heute noch solch hohe Kreditzinsen?

Avatar von 148 k 🚀

Vielen Dank! Darauf wäre ich von alleine wirklich nicht gekommen.

Die Aufgabe ist auch schon älter, allerdings dient es ja nur der Klausurvorbereitung. Falls evtl was aktuelleres vorkommt, muss ich ja wissen, wie ich sowas lösen kann :)

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