Zeige, dass die Gleichung (e^xy) - sin (x+y) =1 in Umgebung des Punktes (π, 0) in der Form y=g(x) aufgelöst werden kann.
Kann mir hier einer helfen bei den Thema implizite Funktionen? Dankeschön.
Vom Duplikat:
Titel: Auflösbarkeit von Gleichungen
Stichworte: variable,implizite-funktion
Problem/Ansatz
Kann mir hier einer helfen bei den Thema implizierte Funktionen?
Zeige, dass die Gleichung (e^(xy)) - sin (x+y) = 1 in Umgebung des Punktes (π, 0) in der Form y=g(x) aufgelöst werden kann.
Analog zu
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_impliziten_Funktion#Beispiel_2
betrachte die partielle Ableitung von
F(x,y) = e^(xy) - sin (x+y) - 1 nach y
Fy(x,y) = x* e^(xy) - cos (x+y) .
an der Stelle (π, 0) ist das
Fy(π, 0) = π* e^(0) - cos (π+0) = π - (-1) = π + 1 ≠ 0.
Also auflösbar.
Okay aber für y=g(x) muss ich da nicht y nach x umstellen, sodass ich da ein neues Polynom erhalte? Wenn ja wie soll das dann gehen?
...in Umgebung des Punktes (π, 0) in der Form y=g(x) aufgelöst werden kann...
heßt ja nicht, dass du die Auflösung angeben sollst. Und ein
Polynom ist das garantiert nicht.
Eine Frage: Muss für die Auflösbarkeit nicht außerdem F(π, 0) = 0 gelten? Wird das nicht auch verlangt?
F(π, 0) = 0 ist natürlich erfüllt, so wurde ja die Funktion gerade gebildet:
F(π, 0) = e^(π*0) - sin (π+0) - 1
= e^(0) - sin (π) - 1
= 1 - 0 - 1 = 0 .
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