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Guten Abend, Leute! Seit gestern versuche ich eine Aufgabe meines Übungsblattes zu bearbeiten jedoch komme ich überhaupt nicht weiter. Ich hoffe, mir kann jemand helfen.



Aufgabe:

 $$ \text{Sei}\; \mathbb{K}\;  \text{ein Körper und}\; A:= \{ c + xg(x,y)\, \vert \; c \in \mathbb{K}, g(x,y) \in \mathbb{K}[x,y]$$

$$\text{Zeigen Sie, dass die Kette}\; I_{1} \subset I_{2} \subset \ldots\; \text{von Idealen in}\; \mathbb{K}[x,y]\, \text{mit}\; I_{n}:= \langle x,xy,xy^2, \ldots, xy^{n} \rangle\; \text{nicht stationär wird.}$$


Problem/Ansatz:

 $$ \text{Ein Tipp zu der Aufgabe habe ich bekommen. Und zwar muss man zeigen, dass}\;xy^{n+1} \in I_{n+1}\setminus I_n$$.

Aber ich weiß nicht, wie ich das zeigen soll.


Mein Ansatz war folgender:

$$I_{n + 1} = \left \{ \sum\limits_{j = 1}^{n + 1} (c_{i} +  x \cdot g_{i}(x,y)) \cdot xy^{i}\; \vert\; g_{i}(x,y) \in \mathbb{K}[x,y], xy^{i}  \in M_{n} :=  \{ x, xy, xy^2, \ldots, xy^{n + 1} \} \right \}$$

$$ =   \left \{ x \cdot \sum\limits_{j = 1}^{n + 1} (c_{i} +  x \cdot g_{i}(x,y)) \cdot y^{i}\; \vert\; g_{i}(x,y) \in \mathbb{K}[x,y], xy^{i}  \in M_{n} :=  \{ x, xy, xy^2, \ldots, xy^{n +1 } \} \right \} $$

$$\text{Sei nun}\; f \in I_{n + 1}$$.


$$\text{Dann lässt sich f schreiben als}\; f (x,y) = x \cdot \underbrace{\sum\limits_{j = 1}^{n + 1} (c_{i} +  x \cdot g_{i}(x,y)) \cdot y^{i}}_{:= z(x,y)} = x \cdot z(x,y)$$


$$\text{Wir wissen aus der obigen Darstellung, dass}\; z(x,y) \;\text{Wir wissen aus der obigen Darstellung, dass } \; z(x,y)\; \text{eine Funktion ist, bei der man ein x ausklammern kann. Also ist}\;  z(x,y) \neq y\;.$$

$$\text{Also ist}\; xy^{n + 1} \notin I_{n + 1}$$


Aber irgendwie bin ich damit nicht zufrieden und vielleicht ist das auch falsch.

Kann mir da jemand helfen? Bin langsam am Verzweifeln.


Wäre euch sehr dankbar.

von

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Also ich sehe das so:

In+1 ist das Ideal, das außer den Erzeugenden von In  noch von x*y^(n+1) erzeugt wird.

Wäre die Kette stationär, dann wäre ja für irgendein n doch In = In+1

Da x*y^(n+1) als erzeugendes Element in In+1 liegt und  In = In+1

gelten würde, dann müsste auch  x*y^(n+1)  in In sein.

Es müsste also a1,...,an in K geben mit

$$\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i}x*y^{i} = x*y^{n+1}$$

bzw

$$x*y^{n+1}-\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i}x*y^{i} = 0$$

und wie du schon sagtest kann man x ausklammern und hat

$$x* (y^{n+1}-\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i}y^{i}) = 0$$

Also wäre x das Nullpolynom (Ist es aber nicht.) oder

y^(n+1) eine Linearkomb. der kleineren Potenzen von y,

Das ist es aber auch nicht, weil y^0 , y^1, …, y^(n+1)

linear unabhängig sind. Also Widerspruch !

Somit x*y^(n+1)  nicht in In , die Kette also nicht stationär.

von 177 k 🚀

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