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Berechnen Sie den Flacheninhalt von der Fläche

F={\((x,y,z):z=xy \) and \(x^2+y^2 \leq 1 \)

Lösung:
Betrachte F={\((x,y,z):z=xy,(x,y)\in B \) wobei B={ \(x^2+y^2 \leq 1 \) }
\( \sigma(F)=\int_{B}^{}\sqrt{1+||\nabla f ||^2} = \int_{B}^{}\sqrt{1+x^2+y^2}  \)
Ab hier wird dann nur noch in Polarkoordinaten transformier und aufgelöst.


Ich weiss wie man Integrale über Normalbereiche berechnet, aber was hier passiert ist, sehe ich nicht. Ich weiss auch nicht, warum man hier irgendwie probiert die Kurvenlänge zu berechen. Woher das "1+..." kommt erschliesst sich mir auch nicht. Bin dankbar über jede Hilfe

von

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Aloha :)

Ich probiere mal eine hoffentlich anschauliche Erklärung...

Die Punkte der gegebenen Menge \(F\) werden von folgender Funktion abgetastet:$$\vec f(x,y)=\left(\begin{array}{c}x\\y\\xy\end{array}\right)\quad\mbox{mit}\quad x^2+y^2\le1$$Diese Funktion hängt nur von 2 Variablen ab, beschreibt also eine Fläche im \(\mathbb{R}^3\). Das totale Differential \(d\vec f\) dieser Funktion lautet:$$d\vec f=\frac{\partial\vec f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial\vec f}{\partial y}\,dy$$Bei infinetisimalen Änderungen ändert sich die Funktion \(\vec f\) in x-Richtung also um \(\frac{\partial \vec f}{\partial x}\,dx\) und in y-Richtung um \(\frac{\partial \vec f}{\partial y}\,dy\). Bei der Bestimmung der Oberfläche \(\sigma(F)\) musst du über infinitesimal kleine Flächenelemente \(d\sigma\) integrieren. Diese Flächenelemente werden von den infinitesimalen Vektoren \(\frac{\partial \vec f}{\partial x}\,dx\) und \(\frac{\partial \vec f}{\partial y}\,dy\) aufgespannt. Da der Betrag des Vektorproduktes von 2 Vektoren gleich der von ihnen aufgespannten Fläche ist, kannst du schreiben:$$d\sigma=\left|\frac{\partial \vec f}{\partial x}\,dx\times \frac{\partial \vec f}{\partial y}\,dy\right|=\left|\left(\begin{array}{c}1\\0\\y\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}0\\1\\x\end{array}\right)\right|\,dx\,dy=\left|\left(\begin{array}{c}-y\\-x\\1\end{array}\right)\right|\,dx\,dy=\sqrt{1+x^2+y^2}\,dx\,dy$$Daher ist:$$\sigma(F)=\int\limits_Bd\sigma=\int\limits_{\{x^2+y^2\le1\}}\sqrt{1+x^2+y^2}\,dx\,dy$$Die Berechnung erfolgt nun am einfachsten, wie du ja auch schreibst, mit Hilfe von Polarkoordinaten...

von 3,9 k

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