Bestimme die Matrix B die zu Matrix A kommutativ ist.

Question

Aufgabe: Bestimme die Matrix B die zu Matrix A kommutativ ist. Nicht mehr als 4 Zeilenelemente von B dürfen 0 sein.

A*B=B*A

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{r|r|r|}\hline 0 & 0 & 0 \\ \hline \hline 1 & 0 & 0 \\ \hline \hline 0 & 1 & 0 \\ \hline\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Moin, Mein erster Instinkt war es eine Einheitsmatrix zu nutzen aber leider hat die mehr als 4 0-Werte. Was könnte ich sonst noch machen? Die Aufgabe ist viele Punkte Wert, daher dürfte es etwas umständlicher werden.

Comments

Vielleicht \(B=A+E_3\).

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Was ist mit E3 gemeint?

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Übrigens: Es sollte heißen: Man bestimmen eine Matrix B.....

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Und was sind "Zeilenelemente", noch dazu 4 (bei mutmaßlich einer 3x3-Matrix)?

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Was ist mit E3 gemeint?

\(E_3\) ist die dreireihige Einheitsmatrix, gelegentlich auch \(I_3\) genannt.

\(A\) und \(A+E_3\) kommutieren unabhängig von \(A\), denn wie man leicht nachrechnet, ist
\(A\cdot(A+E_3)=A^2+A=(A+E_3)\cdot A\). Nun muss man nur noch Nullen zählen.

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Die 3x3 Matrix B darf nicht mehr als 4 Werte 0 haben.

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Wie viele Nullen hat denn \(A+E_3\)?

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Die Methode funktioniert. Gilt das für jede mögliche Matrix?

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\(A\) und \(A+E_3\) kommutieren unabhängig von \(A\),

Steht doch da, sogar mit Beweis.

Ich denke aber nicht, dass dieses Wissen von einem direkt erwartet wird. Sowas erkennt man möglicherweise, wenn man sich intensiver mit solchen Aufgaben befasst. Und wenn man solch ein Muster erkennt, kann man versuchen, die Allgemeingültigkeit zu beweisen. Die Aufgabe geht aber auch vollkommen ohne dieses Wissen.

Answer 1

Nimm doch einfach mal eine beliebige Matrix mit 9 verschiedenen Einträgen \(a\), \(b\) usw. und berechne \(AB\) sowie \(BA\). Erkennst du ein Muster? Welche Bedingungen kannst du aufstellen, damit \(AB=BA\) gilt? Man kann von den 9 Einträgen natürlich auch schon welche als 0 setzen und damit ausprobieren.

Das ist eine schöne Aufgabe zum Rechnen. Einfach anfangen und nicht vorher überlegen, was die Lösung sein könnte. Die Aufgabe kann nämlich dabei helfen, bestimmte Muster zu erkennen.

Comments

Ich hab durch ausprobieren die Lösung gefunden, aber das wird man mir in der Klausur nicht durchgehen lassen. Die Aufgabe ist 8 Punkte wert, daher brauche ich eine gute Begründung.

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{|r|r|r|}\hline 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ \hline\end{array}\right) \)

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Wie Du auf die Begründung kommst, steht in obiger Antwort. Die Auseinandersetzung damit ist das Ziel der Aufgabe.

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Die Muster finden? So viel Zeit hab ich in der Klausur nicht. Es muss doch irgendwelche Regeln geben nach denen ich vorgehen kann.

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Natürlich, nimm eine Matrix B mit 9 Elementen b₁₁ bis b₃₃ und stell das Gleichungssystem resultierend aus AB=BA auf. Dann bestimme daraus die zulässgen Matrixelemente von B, easy…

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Das Muster siehst Du sofort, wenn Du nach obigem Hinweis (den in der Antwort) vorgehst. Hast Du es überhaupt versucht?  

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Welchen Zweck haben solche Aufgaben? Die Erkenntnis, dass ein Rechenweg oftmals viel leichter ist als die Aufgabenstellung auf dem ersten Blick vermuten lässt. So etwas wird in einer Klausur auch berücksichtigt. Man kommt aber nicht dran vorbei, sich im Vorfeld im Rahmen der Übungen intensiver mit einer solchen Aufgabe zu befassen. Dort hat man die Zeit. Ziel ist es dann, zu erkennen, wir eine solche Aufgabe in der Klausur dann schneller funktioniert, wobei man dann oftmals schon feststellt, dass der Aufwand doch nicht so enorm ist, wie anfangs angenommen.

Übrigens: Die Aufgabe wäre gelöst, wenn man eine Matrix angibt und dann zeigt, dass \(AB=BA\) gilt. Das ist nämlich genau die Begründung, warum dein \(B\) eine gültige Lösung ist.