Ganzrationale Funktion T(0/0) und H(4/4) Wie lautet die Funktion?

Question

Der Graph einer ganzrationalen Funktion hat in T(0/0) einen Tiefpunkt und in H(4/4) einen Hochpunkt.  Wie lautet die Funktion? Es wäre toll, wenn jemand die Lösung samt dem Rechenweg hätte (ich helfe gerade meiner Tochter). Vielen Dank schon mal!

Answer 1

Hi,

Stelle die Bedingungen auf:

f(0) = 0 (Wegen Punkt T)
f'(0) = 0 (Wegen Extremumbedingung)
f(4) = 4 (Wegen Punkt H)
f'(4) = 0 (Wegen Extremumbedingung)

Allgemeine Funktion 3ten Grades (die hier wohl gesucht ist)

f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c

Damit allgemeine LGS aufstellen:

d = 0
c = 0
64a + 16b + 4c + d = 4
48a + 8b + c = 0

c und d in die dritte und vierte Gleichung einsetzen. Dann sind das nur noch zwei Variablen ;).

--> a = -0,125 und b = 0,75
--> f(x) = -0,125x³ + 0,75x²

Grüße

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion hat in T$(0|0)$ einen Tiefpunkt und in H$(4|4)$ einen Hochpunkt.

...hat in T$(0|0)$ einen Tiefpunkt→ Hier ist eine doppelte Nullstelle. Nullstellenform:
$f(x)=ax^2(x-N)=a(x^3-Nx^2)$
...und in H$(4|...)$ einen Hochpunkt.(Tangente ist dort waagerecht)  1. Ableitung
$f'(x)=a(3x^2-2Nx)$
$f'(4)=a(48-8N)=0$
$N=6$
$f(x)=a(x^3-6x^2)$
H$(4|4)$
$f(4)=a(64-96)=-32a=4$
$a=-\frac{1}{8}$
$f(x)=-\frac{1}{8}(x^3-6x^2)$