Unverständnis Koordinatenvektoren

Question

Aufgabe:

Es sei V = R^3 und es seien e1 = (1, 0, 0)t  e2 = (0, 1, 0)t, e3 = (0, 0, 1)t ∈ V . Weiter seien die Vektoren
b1 = (1, 4, −3)t, b2 = (2, 2, 1)t, b3 = (1, −1, 5)t ∈ V gegeben.

(a) Bezuglich der geordneten Menge {b1, b2, b3} habe ein Vektor v den Koordinatenvektor bv = (2, −3, 4). Geben
Sie den Koordinatenvektor von v bezuglich der geordneten Menge {e1, e2, e3} an.
(b) Bezuglich der geordneten Menge {e1, e2, e3} habe ein Vektor v den Koordinatenvektor ev = (2, −3, 4). Geben
Sie den Koordinatenvektor von v bezuglich der geordneten Menge {b1, b2, b3} an.

Problem:

Leider hat unser Skript keinen Teil über koordinatenvektoren und ich habe absolutes unverständnis welche ansätze ich verfolgen muss bzw. was ich bei dieser Aufgabe rechnen muss.

Comments

t soll wahrscheinlich ^t sein. (normalerweise ^T) und "transponiert" bedeuten. Ein reeller Parameter t kann das schlecht sein. Bitte jeweils genau formulieren, damit man nicht lange raten muss.

Answer 1

Bezuglich der geordneten Menge {b1, b2, b3} habe ein Vektor v den Koordinatenvektor bv = (2, −3, 4).

Das heißt nur, dass gilt

v = 2*b1 -3*b2+4*b3

Das rechnest du aus und hast die Koordinaten bzgl e1,e2,e3.

Und umgekehrt machst du den Ansatz

(2, −3, 4) =  x*b1 +y*b2+z*b3

und berechnest aus dem Gl.system x,y und z.

Answer 2

Ein Koordinatenvektor ist nichts anders als ein Vektor. Die Koordinaten eines Vektors sind auf eine Vektorbasis bezogen (z.B. Einheitsvektoren in R³)

a)
Der Vektor bv hat in R³ die Koordinaten

v = 2*[b1] - 3*[b2] + 4*[b3]

Es werden jetzt a1,a2,a3 gesucht mit

v = a1*[e1] + a2*[e2] + a3*[e3]

(Gleichungssystem lösen)

Die Koordinaten v (des Vektors bv) basieren dann auf R³, während die Koordinaten (a1,a2,a3) auf {e1,e2,e3} basieren.

b)
Der Vektor ev hat in R³ die Koordinaten

v = 2*[e1] - 3*[e2] + 4*[e3]

Es werden jetzt a1,a2,a3 gesucht mit

v = a1*[b1] + a2*[b2] + a3*[b3]

(Gleichungssystem lösen)

Die Koordinaten v (des Vektors ev) basieren dann auf R³, während die Koordinaten (a1,a2,a3) auf {b1,b2,b3} basieren.

Answer 3

Aloha :)

Du hast hier 2 Basen des \(\mathbb{R}^3\) vorgegeben:$$E=\left\{\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\,\right\}\quad;\quad B=\left\{\left(\begin{array}{c}1 \\ 4 \\ -3\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{c}2 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 5\end{array}\right)\,\right\}$$Die Transformations-Matrix \(M_{BE}\) von der Einheits-Basis E zur Basis B bekommst du, indem du einfach die Basisvektoren von B als Spalten in eine Matrix schreibst. Die Transformationsmatrix \(M_{EB}\) von der Basis B zurück zur Basis E ist die Inverse von \(M_{BE}\):$$M_{BE}=\left(\begin{array}{c}1 & 2 & 1\\4 & 2 & -1\\-3 & 1 & 5\end{array}\right)\quad;\quad M_{EB}=M_{BE}^{-1}=\frac{1}{13}\left(\begin{array}{c}-11 & 9 & 4\\17 & -8 & -5\\-10 & 7 & 6\end{array}\right)$$

Bei (a) kannst du nun die Matrix \(M_{EB}\) mit \(\vec v_b\) multiplizieren und bei (b) die Matrix \(M_{BE}\) mit \(\vec v_e\).