5x+2≡3mod12 bestimmen sie alle Lösungen

Question

Die Aufgabe ist

Bestimmen Sie alle Lösungen x∈Z der folgende Gleichungen:

a)5x+2≡3mod12

b)3x+3≡4mod12

c)x²≡1mod8

d)x6≡1 mod 7

Problem/Ansatz:

a)

3 mod 12 ist ja schonmal 3

das heißt ja das (5x+2) mod 12 ebenfalls 3 ergeben muss.

Ich steh total auf dem Schlauch und weiß nicht wie ich das berechnen soll

Ich nehm auch mal an das der Ansatz für b,c und d der selbe ist wie bei a,

sodass ich es selbst ausrechnen könnte, wenn ich wüsste wie es geht.

Answer 1

a)
5x+2 ≡ 3 mod 12   |   *5
x+10 ≡ 3 mod 12   |   -10
x ≡ -7 mod 12
x ≡ 5 mod 12.

(Warum sind die Umformungen äquivalent
und wie sieht die Lösungsmenge aus?)

Comments

also wäre die Lösung für die a) x=12n+5  | n ∈ ℤ

Die  erste Umformung ist äquivalent weil:

3*5 mod 12 = 15 mod 12 ≡ 3 mod 12

die 3. ist auch simpel (-7+12 =5)

und die der 2. Zeile (x+10) mod 12=3 mod 12

ist äquivalent zu

x mod 12 = (3-10)mod 12

korrekt?

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Die  erste Umformung ist äquivalent weil:
3*5 mod 12 = 15 mod 12 ≡ 3 mod 12

.. ist richtig, aber was hat das mit $5x+2 \equiv 3 \mod 12$ zu tun?

Answer 2

Ich steh total auf dem Schlauch und weiß nicht wie ich das berechnen soll

Na ja - setze doch für $x$ einfach ein paar Zahlen ein und schaue, was passiert. Um es gleich vorweg zu nehmen ... Du kannst auf beiden Seiten das selbe addieren oder abziehen. So wird aus$$\begin{aligned} 5x + 2&\equiv 3\mod 12 && \left|\, -2 \right. \\ 5x &\equiv 1 \mod 12\end{aligned}$$Wenn man nun ein paar Zahlen probiert, kommt bei $$5 \cdot 5 \equiv 1 \mod 12$$zu einer Lösung, da $5\cdot 5 = 2 \cdot 12 + 1$ ist. Jetzt kann man weiter probieren oder sich überlegen, dass sich das Ergebnis alle 12 Zahlen wiederholt. Es gilt nämlich$$\begin{aligned} 5 x &\equiv 1 \mod 12 &&\left|\, x=12k+ n \quad k \in \mathbb{Z}, \space n \in \{0..11\} \right. \\ 5\cdot(12k+n) &\equiv 1 \mod 12 \\ 60k + 5n&\equiv 1 \mod 12 \\ 5n&\equiv 1 \mod 12\end{aligned}$$es reicht also, die 12 Zahlen von 0 bis 11 durch zu pobieren und $n=5$ ist die einzige Lösung in diesem Intervall. Somit ist die Menge aller Zahlen $\in \mathbb{Z}$, die die Gleichung erfüllen:$$x \in \{x = 12k + 5, \space k \in \mathbb{Z}\}$$

Die Aufgabe b) und c) kannst Du in gleicher Weise angehen. Bei b) wirst Du feststellen, dass es keine Lösung gibt. Und d) läuft in gleicher Weise wie a).

Bei c) könnte man sich im Vorfeld schon mal überlegen, dass nur ungerade Zahlen zur Lösung taugen. Probiere es aus, und Du wirst keine ungerade Zahl finden, die keine Lösung ist. Also mal angenommen $x=2k+1$ mit $k \in \mathbb{Z}$, das setze ich ein:$$\begin{aligned} x^2&\equiv 1 \mod 8 \\ (2k+1)^2&\equiv 1\mod 8 \\ 4k^2 + 4k + 1 &\equiv 1\mod 8 \\ 4k(k+1) &\equiv 0 \mod 8 \\\end{aligned}$$also entweder ist $k$ selbst auch gerade, dann ist $4k$ durch 8 teilbar oder $k$ ist ungerade, dann ist der Term $(k+1)$ gerade und das ganze ist wieder durch 8 teilbar. Die Gleichung stimmt also für alle $k \in \mathbb{Z}$ und die Lösungsmenge ist die Menge der ungeraden Zahlen$$x \in \{x = 2k+1, \space k \in \mathbb{Z}\}$$

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß  Werner