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Aufgabe:

Die eine Konstruktion, die Paul hat, braucht 8h, um den Pool komplett zu beheizen, die andere 10h. Er will, dass der Pool innerhalb von 4 Stunden voll beheizt ist. Wie schnell müsste das dritte Aggregat arbeiten?


Problem/Ansatz:

Ich brauche nicht nur die Antworten, sondern einen generellen Überblick, wie man diese Aufgabe lösen kann. Die Antwort lautet 40h und kenne ich bereits, nur weiß ich nicht, wie man auf diese Antwort kommt. :)

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Aloha :)

Die erste Konstruktion braucht 8 Stunden, um den einen Pool zu beheizen. Ihre Heiz-Geschwindigkeit ist also \(v_1=\frac{1\,Pool}{8\,Std.}\). Die zweite Konstruktion benötigt 10 Stunden zum Heizen des Pools. Ihre Heiz-Geschwindigkeit ist also \(v_2=\frac{1\,Pool}{10\,Std.}\). Jetzt soll noch eine dritte Konstruktion zusätzlich zum Einsatz kommen, von der wir noch nicht wissen, wie lange sie zum Heizen des Pools brauchen muss. Ihre Heiz-Geschwindigkeit ist also \(v_3=\frac{1\,Pool}{x\,Std.}\). Die Heiz-Zeit \(x\) der dritten Konstruktion soll nun so bestimmt werden, dass alle 3 Konstruktionen zusammen den Pool in 4 Stunden aufgeheizt haben.$$4\,\mbox{Stunden}\cdot\left(v_1+v_2+v_3\right)=1\,\mbox{Pool}$$Zur weiteren Rechnung lasse ich die Einheiten weg, sie sollten nur dem besseren Verständnis dienen:

$$\left.4\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{x}\right)=1\quad\right|\;:4$$$$\left.\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{x}=\frac{1}{4}\quad\right|\;-\frac{1}{8}-\frac{1}{10}$$$$\frac{1}{x}=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{10}$$$$\frac{1}{x}=\frac{10}{40}-\frac{5}{40}-\frac{4}{40}$$$$\left.\frac{1}{x}=\frac{1}{40}\quad\right|\;\mbox{Kehrwert}$$$$x=40$$

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1/8+1/10+1/x = 1/4

5x+4x+40= 10x

x=40

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