Ableitbarkeit und Stetigkeit der Ableitung

Question

Aufgabe:

Für $$k \in\{1,2,3\}$$ soll bewiesen werden:

$$f_{k} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f_{k}(x) :=\begin{cases}{\sin (x)+x^{k} \cdot \sin (\frac{1}{x}), x \neq 0} \\ {0, x=0}\end{cases}$$

EDIT: Es soll natürlich Folgendes gezeigt werden:

ob  f_k  differenzierbar sind und ob die Ableitungsfunktionen stetig sind.

Problem/Ansatz:

Ich würde hier jetzt einfach für jedes k einmal alles beweisen, aber das geht doch bestimmt auch kürzer oder? Ich denke sin(x) ist für jedes x,k stetig und diffbar. Also muss ich nur noch den Problemterm $$x^k\cdot sin(\frac{1}{x})$$ betrachten, welchger für k = 1, ja ebenfalls diffbar und stetig fortsetzbar ist. Was mache ich aber für k = 2,3?

Comments

Es soll natürlich Folgendes gezeigt werden:

ob  f_k  differenzierbar sind und ob die Ableitungsfunktionen stetig sind.

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Habe das nun oben ergänzt. Ob und dass ist nicht dasselbe. Ausserdem: Bist du sicher, dass dein Kommentar vollständig ist? Du sprichst nachher von "fortsetzbar". Meintest du Folgendes?

Es soll natürlich Folgendes gezeigt werden:

ob  f_k  differenzierbar sind und ob die Ableitungsfunktionen stetig fortsetzbar sind.

Answer 1

Schon mit $$x^k \cdot \mathrm{sin}(\frac{1}{x}) = x^{k-1} \cdot x \cdot \mathrm{sin}(\frac{1}{x})$$ und der Produktregel probiert, wenn du weißt, dass $$f := x^{k-1} \text{ und } g:= x \cdot \mathrm{sin}(\frac{1}{x})$$ differenzierbar sind?

ALLERDINGS: bist du dir sicher, dass g differenzierbar in 0 ist?

Comments

Hallo

 k=1 stetig, aber in 0 nicht differenzierbar! schreib einfach den Differentialquotienten hin!

k=2 differenzierbar wieder differentilquotient hinschreiben, stetigkeit dann überprüfen. k=3 alles ok.

Gruß lul