Beweisen oder widerlegen Sie, dass v + w stets kein Eigenvektor von f ist.

Question

Sei f : V → V eine beliebige lineare Abbildung und v und w zwei Eigenvektoren zu zwei verschiedenen
Eigenwerten von f. Beweisen oder widerlegen Sie, dass v + w stets kein Eigenvektor von f ist.

Answer 1

Sei f(v) = v und f(w) = 2w mit v, w linear unabhängig. Dann ist f(v + w) = f(v) + f(w) = v + 2w. Angenommen es ex. ein x aus K mit x(v + w) = v + 2w => (x - 1)v + (x - 2)w = 0 => v und w linear abhängig. Das führt zum Widerspruch.

Man müsste nun noch angeben, dass eine solche Abbildung mit diesen Eigenvektoren existiert, aber das ist durch ein konkretes Beispiel zu machen. Die Argumentation lässt sich auch auf beliebige l.u. EV mit unterschiedlichem EW übertragen...