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Aufgabe :

Bemerkung: für die Lösung dieser Aufgabe verwenden wir die Reihendarstellung( Taylorreihe zum Entwicklungspunkt x=0) von log(1+x) und von exp(x).

Ziel: Approximiere Eulersche Zahledurch eN:=$$ (1 +\frac{1}{N})^{N} $$ , sodass der Fehler |e−eN| ≈ε. Dabei bezeichnet ε das Maschinenepsilon.

Weiterführende Frage: Ist dies auf dem Rechner unter Berücksichtigung von Rundungsfehlern überhaupt möglich?

Wir beginnen mit der Analysis ohne Berücksichtigung von Rundungsfehlern. Es gilt:

zuerst verwenden wir die Reihendarstellungen um eN anders darzustellen.

$$ eN= exp\Big(log\Big(\Big(1 +\frac{1}{N}\Big)^{N}\Big)\Big)= exp\Big(N\cdot log\Big(1 + \frac{1}{N}\Big)\Big) \\ \\=exp{\Big(N\cdot \sum \limits_{i=0}^{\infty}}\frac{-1^{i+1}}{i!} \cdot \Big(\frac{1}{N}\Big)^{i}\Big) = exp\Big(N\cdot\Big(\frac{1}{N}+O\Big(\frac{1}{N^{2}}\Big)\Big)\Big) $$


Der Schritt in der 2. Zeile ist der den ich leider nicht ganz nachvollziehen kann. Wäre top wenn mir das jemand erklären könnte.


Beste Grüße

U.I.

von

Fehlt zwischen der ersten und der zweiten Zeile ein "Gleich"? Oder: Woher kommt die zweite Zeile?

Was genau ist unklar? Reihendarstellung des log?

Oh,  tut mir Leid,  im Editor hat es Die Zeilen untereinander angezeigt.  Ja all diese Terme sollen gleich sein.

Die eigentliche Frage ist wie genau ich von der 3. Zur 4. Zeile komme

"Gleich" ergänzt. Als "Summe im Summenzeichen"  solltest du die Reihendarstellung des Logarithmus erkennen.

Danach wurde dann die Summe noch ausgeschrieben so weit nötig.

Allerdings: https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Als_Potenzreihe kommt ohne Fakultät aus. Da man aber nicht so viele i einsetzt, macht das hier so weit mal nichts.

Stammt deine Umformung aus einer Musterlösung oder ist das ein eigener Ansatz?

oh man, einer meiner Kommentare ist verschwunden.

das was ich da reingeschrieben habe ist die musterlösung, nicht meine lösung, deshalb will ich ja wissen wie da umgeformt wurde.

was ist mit dem nullten glied der summe? das müsste doch -1 sein? und warum zieht man das erste Glied (1/N) raus bevor man die "Groß oh" notation verwendet?

Gemäss meinem Link https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Als_Potenzreihe beginnt die Reihe für ln(1+x) mit i=1 und nicht bei i=0. Kontrolliere mal das Summenzeichen in der Musterlösung. Sowohl i! als auch i=0 unter dem Summenzeichen verstehe ich gerade auch nicht. Das Resultat lässt sich mit meinem Link wohl besser erklären.

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