Lineare Algebra - Direkte Summe, ein Beispiel gesucht?

Question

Situation:
Die direkte Summe habe ich glaub ich nicht so gut verstanden. 

Ich weiss, dass es da auch Kriterien dazu gibt, aber zuerst sage ich, was ich darüber weiss.

In meinen Worten: 
Sei \(V\) ein Vektorraum. Ich weiss, dass zwei Unterräume \(U1\) und \(U2\) eine direkte Summe \(U1 + U2\) bilden wenn jeder Vektor aus \(U1+U2\) in einer eindeutigen Art und Weise der Form $$u_{1}+u_{2}$$geschrieben werden kann. 
Also sobald es zweideutige Schreibweisen für einen Vektor aus  \(U1+U2\) gibt bilden die Unterräume wohl einfach eine Summe. 

Mithilfe des Nullvektors 
Weiter habe ich gelesen dass man überprüfen kann, ob eine Summe eine direkte Summe ist, indem man schaut ob der Nullvektor 0 aus U1+U2 nur darstellbar ist wenn u1 und u2 = 0 gewählt werden. 

0 = u₁ + u₂ ⇒ u₁ = u₂ = 0. ergibt.  | Wobei u₁ aus U1 ist und u₂ aus U2 ist. 

Mithilfe U1 ∩ U2 = {0}
Also das verstehe ich auch noch nicht. 
Wie kann ich anhand eines Beispiels entscheiden was der Schnitt der Unterräume ist. 

Hilfe:
(1) Kann hier jemand zu den oben genannten Punkten jeweils ein Beispiel machen,
das viel erklärt und evt. auch noch Gegenbeispiel ?

Answer 1

Hallo

 da alle 3 Definitionen äquivalent sind kann man nicht 3 verschiedene Beispiele geben. das einfachste für alle 3 ist U1=r*(1,0), U2=s*(0,1)

a) u1+u2=0 nur wenn u1=u2=0 siehst du hoffentlich direkt, dass U1∩U2={0} hoffentlich auch , und den Vektor (a,b)=a*(1,0)+b*(0,1) eindeutig ist auch.

vielleicht ein Beispiel für nicht direkte Summe U1={(1,0,0),(1,1,0)} U2={(0,1,0) u1=(1,1,0)-(1,0,0), u2=-(0,1,0),  u1+u2=0   aber u1≠0 und u2≠0

das gewählte u1=u2 mit u2=(0,1,0) also U1∩U2≠{0} einen Vektor, den man nicht eindeutig darstellen kann findest du dann selbst.

Gruß lul

Comments

Vielen Dank ich schaue mir das dann heute Nachmittag an. :) Und werde evt. rückfragen müssen.