Übungsblatt-Bearbeitung: Aus Definitionen hergeleitete "Werkzeuge" verwenden?

Question

\((1)\)

Die Aufgabenstellung lautet:

Zeigen Sie die Differenzierbarkeit folgender Funktionen und bestimmen Sie jeweils die Ableitung mit Methoden aus der Vorlesung.

\((2)\)

Während der Vorlesung wurden die gesamten Ableitungsregeln (Produktregel, Kettenregel etc.) unter Verwendung der h-Methode hergeleitet.

Wenn man nun z. B. die Ableitung von \(f: (0,\infty)\to \mathbb{R}\), \(f(x)=x^x\) bestimmen soll, impliziert die Formulierung in \((1)\) für mich, dass die Ableitung und das Zeigen der Differenzierbarkeit zwei verschiedene Arbeitsschritte sind.

Es würde doch aber schon ausreichen, wenn man mit den Ableitungsregeln zeigt, dass eine Ableitung exisistiert - oder nicht?

Answer 1

Bei den Ableitungsregeln setzt du immer die Differenzierbarkeit der Funktionen voraus. Wenn du bspw. in einem Punkt \( x_0\) die Ableitung von $$ f(x)= x^x = e^{\ln(x)x} = (g\circ h)(x)$$ mit der Kettenregel bestimmen möchtest, musst du bereits wissen, dass $$ h(x) = \ln(x)*x $$ in \( x_0\) und $$ g(h)=e^x $$ in \( h(x_0)=\ln(x_0)x_0\) differenzierbar ist.

Man sollte also etwas zur Differenzierbarkeit sagen. Oft hat man aber schon gezeigt, dass Summe, Produkt und Komposition von differenzierbaren Funktionen differenzierbar sind. Die Differenzierbarkeit von elementaren Funktionen hat man meist auch schon nachgewiesen.

Du könntest also argumentieren:

\( (0,\infty)\to\mathbb{R}, x \mapsto x \) diffbar

\( (0,\infty)\to\mathbb{R},x\mapsto \ln(x) \) diffbar

Also \( (0,\infty)\to\mathbb{R},x\mapsto x\ln(x)\) diffbar (Produkt diffbarer Funktionen)

Da \(\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto e^x\) überall diffbar ist (also auch auf dem Bild von \( x\ln(x)\))ist die Komposition$$ (0,\infty)\to\mathbb{R}, x \mapsto x^x $$ diffbar.

Comments

Dass \(\arcsin : (-1,1)\to \mathbb{R}\) differenzierbar ist, folgt daraus, dass \(f\big|_{\mathbb{R}}(x)=\sin(x)\) differenzierbar ist, oder?

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Du brauchst eine bijektive Funktion, also musst du eine Einschränkung betrachten:

$$ f:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \to (-1,1), ~x \mapsto\sin(x) $$

Diese ist diffbar mit Ableitung

$$ f':\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \to (-1,1), ~x \mapsto\cos(x) $$

Es gilt also \( f'(x) > 0 \) für alle \( x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \), insb also auch \( f'(x)\neq 0\).

Unter diesen Umständen ist die Umkehrabbildung $$f^{-1}:(-1,1)\to\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), ~x \mapsto\arcsin(x) $$ differenzierbar. Und es gilt

$$ \left(f^{-1}\right)'(x) = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)} = \frac{1}{\cos(\arcsin(x))} $$

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Hallo EmNero,

danke, dass habe ich mittlerweile auch herausgefunden.

LG