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Aufgabe:

Das Füllgewicht von Bierflaschen sei normalverteilt, wobei die erwartete (mittlere) Füllmenge 0,503 l und die Streuung der Füllmengen 0,002 l beträgt.

Welche Füllmenge wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,98 mindestens erreicht?

Problem/Ansatz:

\( \begin{array}{l}P(X \geq x) \geq 0,98 \Longleftrightarrow \quad 1-P(X \leq x) \geq 0,98 \\ \Longleftrightarrow \quad P(X \leq x) \leq 0,02 \\ \Longleftrightarrow \quad \Phi\left(\frac{x-0,503}{0,002}\right) \leq 0,02 \\ \Longleftrightarrow \quad 1-\Phi\left(\frac{0,503-x}{0,002}\right) \leq 0,02 \\ \Longleftrightarrow \quad \Phi\left(\frac{0,503-x}{0,002}\right) \geq 0,98 \\ \Longrightarrow \quad \frac{0,503-x}{0,002}=2,06 \\ \Longrightarrow \quad x=0,503-2,06 \cdot 0,002=0,49888 \\ \end{array} \)

Laut den Lösungen muss ich es umstellen, also nach x auflösen.

Aber der Schritt wo das Phi verschwindet, verstehe ich nicht. Kann mir jemand den Rechenweg erklären und wie ich vorgehen muss, damit ich auf x komme?

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3 Antworten

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Beste Antwort

Schau in der Normalverteilungstabelle

https://de.wikipedia.org/wiki/Standardnormalverteilungstabelle

Du entnimmst das es eigentlich gerundet 2.05 sein sollten statt 2.06.

Es wurde hier aufgrund der Aufgabenstellung mutwillig aufgerundet.

blob.png

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Kann mir jemand den Rechenweg erklären?

Man schaut in der Tabelle nach, welcher Eingangswert auf 0,98 führt.

Avatar von 53 k 🚀
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Du berechnest das passende Quantil (hier das 0.98-Quantil).

https://www.risk-research.de/fileadmin/user_upload/NV_Quantile.pdf


Alternativ, auch für andere Parameter mithilfe der inversen Normalverteilung: invNorm(α, μ, σ) -> invNorm(0.98, 0, 1) ≈ 2.05375

Avatar von 13 k

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