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Aufgabe:

$$\text{ Ich soll zeigen, dass f:ℝ^2->ℝ mit } \frac{ln(1+x^4) * sin^2(y)}{x^2} \text{ für x ungleich 0 und 0 für x=0 stetig ist}$$


Problem/Ansatz:

für x ungleich 0 gilt, dass f stetig ist, da f eine Komposition stetiger Funktionen ist.
Mein Problem liegt darin zu zeigen, dass f auch in x=0 stetig ist.

Sei xn eine beliebige Nullfolge, dann: $$\lim\limits_{x\to\infty} f(xn) = \lim\limits_{x\to\infty} \frac{ln(1+xn^4) * sin^2(y)}{xn^2} $$

Den Grenzwert für xn darf ich jetzt leider nicht einsetzen, da ich ja sonst eine Nulldivision ausführen würde. Wie kann ich weiter vorgehen? Ich muss ja zeigen, dass f(xn) gegen 0 = f(0,y) konvergiert.

Danke für jegliche Hilfe! :)

von

2 Antworten

+1 Daumen

Hallo,

nach Taylor ist LN(1+x)≈x für x nahe 0.

Also LN(1+x^4) ≈x^4

und damit strebt deine Funktion gegen 0 für x gegen 0.

von 33 k

Reicht so etwas denn aus? Das ist dann ja keine Äquivalenz mehr, sondern eine ungefähre Umformund

Das wäre erstmal nur eine Begründung. Formell richtig müsstest du nun mit dem Einschluss Kriterium argumentieren, daher die Ungleichungskette

0<ln(1+x^4)/x^2<x^2

betrachten.

0 Daumen

Du betrachtest eine Folge im R^2 , also (xn ; yn ) , die gegen (0;0) geht.

Dann gehen sowohl die xn gegen 0, als auch die yn.

Und f(xn;yn) ist das Produkt aus ln(1+xn^4) / xn^2

und sin^2(yn) .

Beide Faktoren gehen gegen 0, also auch deren Produkt.

von 171 k

Du betrachtest eine Folge im R^2 , also (xn ; yn ) , die gegen (0;0) geht.
Das tut der Fragesteller aus gutem Grund nicht.

Beide Faktoren gehen gegen 0
Warum der erste Faktor das tut war doch gerade die Frage und kann durch ein solches Statement schwerlich beantwortet werden.

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