Aloha :)
Gesucht ist die Summe:
$$S:=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}$$$$\phantom{S:=}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)}\right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$$Wenn du dir nun die ersten Terme dieser Summe einfach mal aufschreibst, merkst du was:
$$\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\cdots$$$$\frac{1}{1}\underbrace{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}_{=0}\underbrace{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}_{=0}\underbrace{-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}_{=0}-\frac{1}{5}+\cdots$$Daher ist:
$$S=\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\lim\limits_{N\to\infty}\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n}-\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n+1}\right)$$$$\phantom{S}=\lim\limits_{N\to\infty}\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n}-\sum\limits_{n=2}^{N+1}\frac{1}{n}\right)=\lim\limits_{N\to\infty}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{N+1}\right)=1$$
