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Hallo liebe Wissende :)

Ich versuche schon eine Weile, den Grenzwert folgender Reihe zu bestimmen:

1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + ...

Das Bildungsgesetz für den Nenner habe ich schon herausgefunden: \(n^2+n\). Die Folge ist eine Nullfolge. Ich vermute 1 als Grenzwert, krieg aber nicht hin, das zu zeigen.

Danke für jede Hilfe...

von

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Aloha :)

Gesucht ist die Summe:

$$S:=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}$$$$\phantom{S:=}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)}\right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$$Wenn du dir nun die ersten Terme dieser Summe einfach mal aufschreibst, merkst du was:

$$\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\cdots$$$$\frac{1}{1}\underbrace{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}_{=0}\underbrace{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}_{=0}\underbrace{-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}_{=0}-\frac{1}{5}+\cdots$$Daher ist:

$$S=\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\lim\limits_{N\to\infty}\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n}-\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n+1}\right)$$$$\phantom{S}=\lim\limits_{N\to\infty}\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n}-\sum\limits_{n=2}^{N+1}\frac{1}{n}\right)=\lim\limits_{N\to\infty}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{N+1}\right)=1$$

von 3,9 k

Top-Erklärung (und erspart mir die ganze Schreibarbeit). Daumen hoch.

Hallo Tschakabumba!

Man kann deine Antworten immer sehr gut lesen und nachvollziehen. Ich werde langsam zu einem echten Fan von dir :))

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Partialbruchzerlegung

1/(n^2 + n) = 1/(n·(n + 1)) = 1/n - 1/(n + 1)

∑ (n = 1 bis ∞) 1/(n^2 + n)

= ∑ (n = 1 bis ∞) 1/n - ∑ (n = 1 bis ∞) 1/(n + 1)

= ∑ (n = 1 bis ∞) 1/n - ∑ (n = 2 bis ∞) 1/n

= 1 + ∑ (n = 2 bis ∞) 1/n - ∑ (n = 2 bis ∞) 1/n

= 1

von 295 k

Hallo Mathecoach :)

Danke auch dir für deine Antwort. Bitte nicht böse sein, dass ich T.s Antwort als beste gewählt habe...

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