Beweis "Jede p-Norm ist eine Norm"

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Jede p-Norm ist eine Norm.

Problem/Ansatz:

Laut Internet muss eine Norm die drei Normaxiome (Definitheit, absolute Homogenität und Subaddivität erfüllt sein). Definitheit wäre ja

|| x || = 0 bzw. norm (x) ≥ 0

Absolute Homogenität

|| α * x || = |α| * |x|, also norm (x) = 0 <=> x = 0

und subadditivität, bzw. Dreiecksumgleichung

|| x + y || = || x || + || y || bzw. norm (x + y) ≤ norm (x) + norm (y).

Wie zeigt man das für ein allgemeines p?

Danke und liebe Grüße,

Marceline, The Vampire Queen

Answer 1

Hallo Vampire Queen,

Wie zeigt man das für ein allgemeines \(p\)?

indem man das formal hinschreibt. Die Definition einer \(p\)-Norm ist $$\|x\|_p = \left( \sum_{i}|x_i|^p \right)^{\frac 1p}$$

Definitheit. D.h.:$$\|x\|_p = \left( \sum_{i}|x_i|^p \right)^{\frac 1p} \ge 0$$gilt, da alle Summanden lt. Definition gößer oder gleich 0 sind.

Absolute Homogenität:$$ \begin{aligned} \|\alpha \cdot x\|_p &= \left( \sum_{i}|\alpha \cdot x_i|^p \right)^{\frac 1p} \\&= \left( \sum_{i}|\alpha |^p \cdot | x_i|^p \right)^{\frac 1p} \\&= {|\alpha |^p}^{\frac 1p} \cdot \left( \sum_{i} | x_i|^p \right)^{\frac 1p} \\&= |\alpha| \cdot \|x\|_p\end{aligned}$$

Bleibt noch Subadditivität, bzw. Dreiecksungleichung. Lt. Wikipedia erfüllen die \(p\)-Normen die Minkowsky-Ungleichung, was das gleiche ist. Beweis dazu siehe hier.

Comments

Danke, Werner Salomon! Hat sehr geholfen :)