Skalare bestimmen, dass Polynome Norm 1 haben?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 3: Im Vektorraum \( V \) der auf dem Intervall \( [-1 ; 1] \) betrachteten reellen Polynome höchstens vierten Grades sei ein Skalarprodukt gegeben durch \( \langle p, q\rangle=\int \limits_{-1}^{1} p(x) q(x) \mathrm{d} x \) für alle \( p, q \in V \).

Weiterhin seien \( U \) der Unterraum von \( V \) der auf \( [-1 ; 1] \) betrachteten reellen Polynome höchstens zweiten Grades und \( \mathcal{B}=\left\{q_{1}, q_{2}, q_{3}\right\} \) eine Basis von \( U \) mit \( q_{1}(x)=1, q_{2}(x)=x, q_{3}(x)= \) \( 3 x^{2}-1 \)
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(a) Zeigen Sie, dass \( \mathcal{B} \) eine sogenannte Orthogonalbasis von \( U \) ist, d.h. dass die Basispolynome den gesamten Unterraum \( U \) aufspannen und paarweise orthogonal zueinander sind.
(b) Bestimmen Sie \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} \in \mathbb{R} \) derart, dass die Polynome \( p_{i}=\lambda_{i} \cdot q_{i} \) für \( i=1,2,3 \) die Norm 1 haben.
Bemerkung: Die Basis \( \mathcal{B}^{\prime}=\left\{p_{1}, p_{2}, p_{3}\right\} \) ist dann eine Orthonormalbasis von \( U \).

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist bei Teilaufgabe b), ist pi die Norm? Also müsste Skalar i * qi = 1 sein oder verstehe ich das falsch?

Comments

Für Teilaufgabe a bin ich übrigens so vorgegangen:
Von den q aus Basis B jeweils das Integral gebildet mit den Grenzen -1 bis 1 und dann ausgerechnet und geguckt ob das Ergebnis 0 ist weil das ja die Bedingung für Orthogonalität ist.

Vllt. kann das noch jemand bestätigen ob das so richtig ist.

Answer 1

a) hast du richtig gemacht.

Bei b) heißt es ja

Bestimmen Sie \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} \in \mathbb{R} \) derart, dass die Polynome \( p_{i}=\lambda_{i} \cdot q_{i} \) für \( i=1,2,3 \) die Norm 1 haben.

Du musst also für jedes i∈{1;2;3}den Ansatz machen \( ||p_{i}||= ||\lambda_{i} \cdot q_{i}||=1 \)

Und wenn die Norm, die von dem Skalarprodukt abgeleitete Norm ist,

also ||p||=√<p;p> gilt, sieht das z.B. für i=1 so aus:

\( \langle q_1, q_1\rangle=\int \limits_{-1}^{1} 1 \cdot 1 \mathrm{d} x = 2 \)

Also ||q₁ || = √2  und damit ist \( \lambda_1=  \frac{1}{\sqrt{2}}  \)

Entsprechend mit q₂ ergibt sich:

\( \langle q_2, q_2\rangle=\int \limits_{-1}^{1} x\cdot x \mathrm{d} x = \frac{2}{3} \)

Also ||q₂ || = \( \sqrt{\frac{2}{3}} \)  und damit ist \( \lambda_2=  \sqrt{\frac{3}{2} }\)

etc.