Verifizierung, dass es genau drei Äquivalenzklassen gibt

Question

Hallo liebe Mathelounge,
als mein erster Post hier hoffe ich, mich dabei an alle entsprechenden Regeln zu halten.

Das Aufgabenstellung sieht folgendermaßen aus:
In meiner Aufgabe ist die Relation R : ℤ→ℤ definiert durch aRb ⇔ 3 | a - b, wobei "|" für die Teilbarkeitsrelation steht.
Als erste Teilaufgabe war gefordert zu verifizieren, dass es sich bei R um eine Äquivalenzrelation handelt, was ich mittels Überprüfung auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität bereits getan habe ohne jegliche Rückfragen.

Die zweite Teilaufgabe, welche mir Kopfschmerzen bereitet, sieht folgendermaßen aus:
Verifiziere, dass es genau drei Äquivalenzklassen gibt, nämlich ℤ/R = {u, v, w} mit

u := { 3k | k ∈ ℤ } = { ..., -6, -3, 0, 3, 6, 9, ... }
v := { 3k + 1 | k ∈ ℤ } = { ..., -5, -2, 1, 4, 7, 10, ... }
w := { 3k + 2 | k ∈ ℤ } = { ..., -4, -1, 2, 5, 8, 11, ... }

Vielleicht stehe ich aktuell auch einfach auf dem Schlauch, weil ich bereits den ganzen Tag mit Klausurvorbereitung beschäftigt bin, allerdings möchte ich zum Abschluss heute noch die folgenden Fragen loswerden und hoffentlich demnächst was das hier angeht schlauer sein.

Zu allererst werde ich aus der Gleichung " ℤ/R = {u, v, w} " nicht schlau:
Bedeuten soll das ja (nehme ich an), dass die Menge der ganzen Zahlen OHNE R = {u, v, w} ist.
ℤ besteht aus Zahlen und eine Relation R aus Elementpaaren und ℤ/R ist gleich der Menge {u, v, w}..? Warum? Was bedeutet es und wie kommt es dazu?

Was die Äquivalenzklassen generell angeht kann ich mit dem was dort gegeben ist aktuell auch wenig anfangen.

Die 3 Fälle, die meiner Vermutung nach eintreten, die zu den 3 Äquivalenzklassen führen sind:
x % 3 = 0
x % 3 = 1
x % 3 = 2
(Also alle x∈ℤ, dessen Rest = 0 ist bei einer Division durch 3, bilden die erste Klasse usw.)
Das deckt sich auch mit den Mengen, die in der Aufgabenstellung gegeben sind, allerdings ist mir unklar wie ich das letztendlich "mathematisch" verifizieren soll und es wäre schön dahingehend vielleicht einen Ansatz zu bekommen.
(Gegeben sind die Äquivalenzklassen ja im Grunde ja schon in der Aufgabenstellung.. oder?)

Ich freue mich über jeden Beitrag, Hinweis oder auch über jedes Video/jede Quelle, die mir im Hinblick auf diese Aufgabenstellung weiterhelfen kann.

Gruß!

Comments

Verstehe ich das richtig?

Möchtest du die zweite Teilaufgabe erklärt haben?

Die zweite Teilaufgabe, welche mir Kopfschmerzen bereitet, sieht folgendermaßen aus:
Verifiziere, dass es genau drei Äquivalenzklassen gibt, nämlich ℤ/R = {u, v, w} mit

u := { 3k | k ∈ ℤ } = { ..., -6, -3, 0, 3, 6, 9, ... }
v := { 3k + 1 | k ∈ ℤ } = { ..., -5, -2, 1, 4, 7, 10, ... }
w := { 3k + 2 | k ∈ ℤ } = { ..., -4, -1, 2, 5, 8, 11, ... }

Steht das alles bereits in der Fragestellung?

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Ganz genau, der Teil den du gerade von mir zitiert hast, entspricht exakt der gegebenen Aufgabenstellung.

Answer 1

Willkommen in der Mathelounge,

Zu allererst werde ich aus der Gleichung " ℤ/R = {u, v, w} " nicht schlau:
Bedeuten soll das ja (nehme ich an), dass die Menge der ganzen Zahlen OHNE R = {u, v, w} ist.

Nein, dass soll bedeuten dass die Menge aller Äquivalenzklassen bzgl. der Relation R = {u,v,w} ist. Das ist die so genannte Faktormenge.

Die 3 Fälle, die meiner Vermutung nach eintreten, die zu den 3 Äquivalenzklassen führen sind:
x % 3 = 0
x % 3 = 1
x % 3 = 2
(Also alle x∈ℤ, dessen Rest = 0 ist bei einer Division durch 3, bilden die erste Klasse usw.)

Das ist richtig.

Das deckt sich auch mit den Mengen, die in der Aufgabenstellung gegeben sind, allerdings ist mir unklar wie ich das letztendlich "mathematisch" verifizieren soll und es wäre schön dahingehend vielleicht einen Ansatz zu bekommen.

Du solltest zuerst zeigen, dass diese Mengen Äquivalenzklassen sind. Für ein Element x ist die Äquivalenzklasse ja von der Form

$$[x]_R = \left\{ y \in \mathbb{Z} ~|~ xRy \right\}$$

also die Menge aller y die in Relation zu x stehen. Wenn du nun Elemente $a,b,c \in \mathbb{Z}$ mit

$$[a]_R = u,\quad [b]_R=v,\quad [c]_R = w,$$

findest, hast du bereits gezeigt, dass die drei Mengen Äquivalenzklassen sind. Vielleicht weißt du ja, dass die Menge aller Äquivalenzklassen eine Partition der Grundmenge bildet. Um also zu zeigen, dass das bereits alle Äquivalenzklassen sind und wir nicht noch mehr benötigen, musst du nur noch argumentieren, dass jede ganz Zahl in einer der drei gegebenen Mengen liegt.

Comments

Erst einmal vielen Dank für die ausführliche Antwort und generell für alle bisherigen Antworten in diesem Thread.

Demnach würde das dann formal folgendermaßen aussehen: (?)

[0]_R = { x ∈ ℤ | xR0 }
[1]_R = { x ∈ ℤ | xR1 }
[2]_R = { x ∈ ℤ | xR2 }

Faktormenge von R:
ℤ/R = { [0]_R, [1]_R, [2]_R } = { [x]_R | x ∈ ℤ }

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Demnach würde das dann formal folgendermaßen aussehen: (?)

[0]_R = { x ∈ ℤ | xR0 }
[1]_R = { x ∈ ℤ | xR1 }
[2]_R = { x ∈ ℤ | xR2 }

Genau, das sind passende Elemente.

$$[0]_R = u, [1]_R = v, [2]_R = w$$

Damit sind die 3 Mengen Äquivalenzklassen.

Faktormenge von R:
ℤ/R = { [0]_R, [1]_R, [2]_R } = { [x]_R | x ∈ ℤ }

Richtig. Um das zu verifizieren musst du jetzt nur noch zeigen, dass für alle x entweder

$$[x]_R = [0]_R \text{ oder } [x]_R = [1]_R \text{ oder } [x]_R = [2]_R$$

gilt. Oder du zeigst, dass alle $x \in \mathbb{Z}$ in einer der drei Mengen liegt.

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Ich weiß an dieser Stelle leider nicht weiter, bei mir hapert es da scheinbar wenn es um unendliche Zahlenbereiche geht.

Was mich wurmt ist, dass ich im Grunde ja bereits weiß, dass jedes x ∈ { ℤ } sein muss, aber es scheinbar nicht vollständig ausgeführt niederschreiben kann, habe leider auch noch keine Quelle gefunden die beleuchtet wie man verifiziert, dass alle x einer
Menge M in einer der definierten Äquivalenzklassen sind.

Zu Ihrem Kommentar würde ich jetzt versuchen das in einer logischen Aussage zusammenfassen, ist das bereits Verifizierung genug?

Wenn ich zum Beispiel folgendes abschließend schreibe:
∀x∈ℤ: [x]_R = [0]_R v [x]_R = [1]_R v [x]_R = [2]_R
⇒ Alle Äquivalenzklassen gefunden (?)

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Du könntest das z.B. so machen:

Sei x eine ganze Zahl, Division mit Rest liefert eine Darstellung der Form $$x = 3q+r,\quad\text{mit }0≤r<3$$ Falls:

r=0, ist $x\in[0]_R$, denn  $$x=3q \sim 0 \iff 3|(3q-0)$$ ist offenbar erfüllt.

r=1, dann $x\in[1]_R$, denn$$x=3q+1 \sim 1 \iff 3|(3q+1-1) \iff 3|3q$$auch erfüllt.

r=2, analog.

Answer 2

Also die Symbolik ist mir unbekannt, sie bedeutet aber garantiert nicht das von dir vermutete "ohne R".

Ich nehme an, dass das R für "Relation" steht und das es sich um eine Relation bezüglich der ganzen Zahlen (Z) handeln soll.

Zur Verifizierung: Zeige, dass alle Zahlen in u, alle Zahlen in v und sowie alle Zahlen in w tatsächlich zueinander in Relation stehen, und zeige, dass keine Zahl aus u in Relation zu einer Zahl aus v oder w steht (und dass Zahlen aus v und w nicht zueinander in Relation stehen), und begründe natürlich auch, dass die drei Ä.-klassen ALLE ganzen Zahlen enthalten.

Answer 3

Zu allererst werde ich aus der Gleichung " ℤ/R = {u, v, w} " nicht schlau:

Das ist " die Menge der ganzan Zahlen bezüglich der Relation R. "

Das bedeutet, dass innerhalb von u alle Elemente in Relation stehen. Grund: Abstand der Zahlen a und b aus u ist ein Vielfaches von drei. Also: 3 | (a - b).

(Gegeben sind die Äquivalenzklassen ja im Grunde ja schon in der Aufgabenstellung.. oder?)

Richtig. Du musst aber noch die Eigenschaften von Äquivalenzklassen prüfen. Insbesondere wohl, dass ganz Z in drei elementfremde Klassen unterteilt ist.