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Hallo liebe Mathematiker... \ö/

Ich habe ein mathematisches Problem bei der Auswertung eines Experimentes. In dem Experiment sind 2 Widerstände R1 und R2 in Serie geschaltet. Wir hatten R2=100,0037 Ohm (+/-0,0002 Ohm) gegeben. Dann haben wir 10-mal die Spannungen U1 und U2 an den Widerständen gemessen (s. Tabelle) und sollen nun über die Formel \(R_2=\frac{U_2}{U_1}R_1\) den Widerstand R2 bestimmen. Das habe ich alles verstanden.

Mein Problem ist, dass wir eine vollständige Fehlerrechnung inklusive Korrelation durchführen sollen. Dafür bräuchte ich bitte dringend eure Hilfe! Wie gehe ich hier statistisch bzw. mathematisch vor? Wie funktioniert das mit der Korrelation?

Ich bin für jede Hilfe dankbar...

Eluna


n
U1 / V
U2 / V
1
0,0994
0,1035
2
0,1005
0,1069
3
0,1000
0,1047
4
0,1005
0,1061
5
0,1003
0,1063
6
0,1015
0,1073
7
0,1000
0,1049
8
0,1002
0,1054
9
0,1011
0,1060
10
0,1021
0,1063
von

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Aloha :)

Für den Widerstand \(R_1\) sind Wert und Messunsicherheit bereits bekannt:$$R_1=100,0037\,\Omega\quad;\quad\delta R_1=0,0002\,\Omega$$

\(U_1\) und \(U_2\) sind die Mittelwerte der Einzelmessungen \(u_i\) bzw. \(v_i\):$$U_1=\frac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{10}u_i=0,10056\,V\quad;\quad U_2=\frac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{10}v_i=0,10574\,V$$Der Fehler \(\delta U_1\) und \(\delta U_2\) von \(U_1\) bzw. \(U_2\) ist die empirische Standardabweichung:

$$\delta U_1=\sqrt{\frac{1}{9}\sum\limits_{i=1}^{10}\left(u_i-U_1\right)^2}=0,00080$$$$\delta U_2=\sqrt{\frac{1}{9}\sum\limits_{i=1}^{10}\left(v_i-U_2\right)^2}=0,00113$$Weil durch beide Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) derselbe Strom fließt und dieser Strom Schwankungen unterworfen ist, sind die gemessenen Spannungen \(U_1\) und \(U_2\) miteinander korreliert. Um diese Korrelation mathematisch zu fassen, berechne den sog. Korrelationskoeffizienten:

$$\rho(U_1,U_2)=\frac{\delta(U_1,U_2)}{\delta U_1\cdot\delta U_2}=\frac{\frac{1}{9}\sum\limits_{i=1}^{10}\left(u_i-U_1\right)\left(v_i-U_2\right)}{\sqrt{\frac{1}{9}\sum\limits_{i=1}^{10}\left(u_i-U_1\right)^2}\sqrt{\frac{1}{9}\sum\limits_{i=1}^{10}\left(v_i-U_2\right)^2}}=0,73949$$Beachte bitte, dass sich die \(\frac{1}{9}\) alle rauskürzen, daher werden die Vorfaktoren \(\frac{1}{n-1}\) bei der Definition des Korrelationskoeffizienten in der Regel weggelassen. Das Wichtige ist, dass man den korrelierten Fehler \(\delta(U_1,U_2)\) mit Hilfe des Korrelationskoeffizienten und der Einzehlfehler hinschreiben kann:

$$\delta(U_1,U_2)=\rho(U_1,U_2)\cdot\delta U_1\cdot\delta U_2$$

So, das ist jetzt die halbe Miete. Jetzt musst du die einzelnen Messunsicherheiten noch zur Messunsicherheit von \(R_2\) gemäß der Berechnungsvorschrift \(R_2=\frac{U_2}{U_1}R_1\) kombinieren. Weil hier eine Korrelation im Spiel ist, benötigen wir das erweiterte Fehlerfortpflanzungs-Gesetz von Gauß. Für eine Messgröße \(f=f(x_1,\cdots,x_N)\), die von \(N\) fehlerbehafteten Werten abhängig ist lautet dieses:

$$(\delta f)^2=\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^N\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j}\delta(x_i,x_j)$$Deine Messgröße \(R_2=\frac{U_2}{U_1}R_1\) hängt von \(N=3\) fehlerbehafteten Messgrößen \(\{U_1,U_2,R_1\}\) ab. Ich schreibe zuerst die Terme für \(i=j\) auf und dann die Mischterme:

$$(\delta R_2)^2=\overbrace{\left(-\frac{U_2}{U_1^2}R_1\cdot\delta U_1\right)^2}^{i=j=1}+\overbrace{\left(\frac{1}{U_1}R_1\cdot\delta U_2\right)^2}^{i=j=2}+\overbrace{\left(\frac{U_2}{U_1}\cdot\delta R_1\right)^2}^{i=j=3}$$$$\phantom{(\delta R_2)^2}+2\cdot\underbrace{\left(-\frac{U_2}{U_1^2}R_1\right)\left(\frac{1}{U_1} R_1\right)\,\delta(U_1,U_2)}_{i=1,j=2\;\land\;i=2,j=1}$$Die beiden Mischterme \(i=1,j=2\) und \(i=2,j=1\) sind gleich, daher die Multiplikation mit 2. Mehr Mischterme gibt es nicht, da nur \(U_1\) und \(U_2\) miteinander korreliert sind. Das kann man noch zusammenfassen:

$$(\delta R_2)^2=\left(\frac{U_2R_1}{U_1^2}\,\delta U_1\right)^2+\left(\frac{R_1}{U_1}\,\delta U_2\right)^2+\left(\frac{U_2}{U_1}\,\delta R_1\right)^2$$$$\phantom{(\delta R_2)^2}-\frac{2U_2R_1^2}{U_1^3}\,\rho(U_1,U_2)\,\delta U_1\,\delta U_2$$Jetzt musst du nur noch alles einsetzen und ausrechnen ;)

von 3,8 k

Ich hätte nie gedacht, dass mir hier so toll geholfen wird...

Vielen Dank für die richtig gute Erklärung, beim Lesen und Durchdenken der Antwort hatte ich einige Aha-Effekte.

Super Forum hier!!!

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