Kiste öffnen. Mit wie vielen Versuchen (bis er einmal Erfolg hat) muss Karl rechnen?

Question

Aufgabe:

Karl hat 6 Schlüssel und will mit diesen eine Kiste oeffnen. Nur einer wird passen...

mit wie vielen Versuchen muss Karl rechnen?

Problem/Ansatz:

Ich bin verwirrt...

irgendwie scheint mir die Aufgabe zu leicht.

Müsste Karl nicht einfach mit 6 Versuchen rechnen?

oder ich hatte es mit der Bernoulli Formel versucht also :

n über * 1/6 * 5/6ⁿ-1 = 1

aber irgendwie kriege ich die Gleichung nicht gelöst

Comments

Müsste Karl nicht einfach mit 6 Versuchen rechnen?

Im schlimmsten Fall schon.

Mit wie vielen Versuchen muss Karl rechnen?

Falls das exakt so formuliert ist, kannst du ruhig deine Begründung und die 6 als Resultat stehen lassen.

Gemeint ist (falls ihr Erwartungswert kennt) vermutlich ein Erwartungswert: Mit wie vielen Versuchen muss Karl im Durchschnitt rechnen, bis das Schloss sich öffnet?

"Durchschnitt bei unendlich vielen Versuchen am gleichen Schloss" ist natürlich unrealistisch. Irgendwann wird er die Schlüssel und das Schloss kennen und nicht mehr ziellos pröbeln müssen.

Answer 1

Aloha :)

Karl legt alle 6 Schlüssel nebeneinander vor sich hin und probiert sie der Reihe nach aus. Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Schlüssel passt ist 1/6, also braucht er mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 genau 1 Versuch. Die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Schlüssel passt ist 1/6, also braucht er mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 genau 2 Versuche. Die Wahrscheinlichkeit, dass der dritte Schlüssel passt ist 1/6, also braucht er mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 genau 3 Versuche... Merkst du was? Die Wahrscheinlichkeit für 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 Versuche ist immer gleich 1/6. Daher ist der Erwartungswert:$$\mu=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3,5$$

Answer 2

Spätestens beim sechsten Versuch hat Karl den richtigen Schlüssel.

$E(X)=1·P(X=1)+2·P(X=2)+3·P(X=3)+4·P(X=4)+5·P(X=5)+6·P(X=6)$

Comments

Karl wird im nüchternen Zustand darauf achten, einen nicht passenden Schlüssel nicht noch einmal zu versuchen...

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Ist das eine sanfte Schelte unterm Deckmantel eines Pseudo-Witzes?

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Was? Nein, vielmehr war der Anlass zu meiner Einlassung deine Auslassung zur Binomialverteilung, die ja später der Weglassung derselben zum Opfer gefallen ist.

Answer 3

Gefragt ist hier der Erwartungswert für die Anzahl der benötigten Versuche. 

PS: rc war schneller...

Answer 4

Die Wahrscheinlichkeit das der erste Schlüssel bereits
passt ist gleich der Wahrscheinlichkeit das der 6.Schlüssel
( oder jeder andere ) passt.
Der Mittelwert der Ziehungsanzahl ist
( 1+2+3+4+5+6 ) / 6 = 3.5

Mit wie vielen Versuchen muss Karl rechnen?

Führt Karl das Ziehen zu Testzwecken öfters aus wird
sich dieser Wert als Mittelwert  einstellen.

Dasselbe Resultat stellt sich beim Würfeln ein.