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Aufgabe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe und das Konvergenzverhalten an den Rändern untersuchen

Wie im Titel schon erwähnt, nur den Konvergenzradius bestimmen und das Konvergenzverhalten an den Rändern untersuchen. Ich habe mal 2 Screenshots von 2 verschiedenen Potenzreihen angehängt.


Bild 1:

Capture.PNG

Bild 2:

Capture2.PNG



Problem/Ansatz:

Im Bild 1 sieht man das vor dem x noch ein Faktor 2 Steht und eine - 1. Im Bild 2 haben wir die Potenz: 2 * n + 1 und nicht einfach nur n.


Wie verfahre ich bei diesen 2 Aufgaben wenn ich mir den Konvergenzradius bestimmt habe? Gerade wenn ich anschliessen noch das Konvergenzverhalten an den Rändern betrachten muss. Das kam nämlich in meiner Ersttermin Klausur dran...

von

1 Antwort

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Beste Antwort

Bei der ersten Reihe würde ich zunächst z = 2x-1 setzen.

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n2^{n}}z^{n}$$

Für diese Reihe kannst du dann ganz normal den Konvergenzradius ausrechnen (R=2)

Für z=2 ist die Reihe divergent Für z=-2 konvergent.

Jetrzt kannst Du die x ausrechnen, für die die Urspungsreihe Konvergiert.

Bei der zweiten kannst Du nur Cauchy-Hadamard anwenden. Das müsste der sinh(x) sein und für alle x konvergieren.

vor von 2,1 k

Hey,

danke fuer deine Antwort! Bei der zweiten Aufgabe hat es gereicht den Konvergenzradius zu bestimmen. Dieser war unendlich und ich konnte die Aufgabe mit der Aussage die Potenzreiche konvergiert fuer alle x ∈ R abschliessen.


Zu deinem Tipp bei der ersten Aufgabe. Ich muss dann also -2 = 2*x - 1 nach x umstellen fuer die untere Grenze und dasselbe fuer die obere machen? untere Grenze dann -1/2 und obere 3/2?

Genauso würde ich das machen. Dein Reihe konvergiert dann für

$$-\frac{1}{2}\leq x<\frac{3}{2}$$. 

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