Rotationskörper: f und g begrenzen Flächenstücke

Question

Aufgabe:

f: x^2+y^2=80

g:y^2=2x

Problem/Ansatz:

Kurven f und g begrenzen Flächenstücke,die um x-Achse rotieren.

Berechnen das Volumen der entstehenden Rotationskörper:

Nullstelle:

y^2=80-x^2=>+_8.94

y^2=2x => 0

Schnittpunkt :(8/-10)

Ich wäre sehr dankbar für die ausführliche Antwort.

Answer 1

Ähnliche Berechnung wie unter https://www.mathelounge.de/649359/flachenstucke-die-um-die-x-achse-rotieren

x^2 + y^2 = 80 → y^2 = 80 - x^2
y^2 = 2·x

Kurven f und g begrenzen Flächenstücke,die um x-Achse rotieren.

Ich berechne mal das Rotationsvolumen von dem Flächenstück welches im I. und IV. Quadranten liegt.

Nullstellen

80 - x^2 = 0 → x = ±√80

2·x = 0 → x = 0

Schnittstelle

80 - x^2 = 2·x --> x = 8 (∨ x = -10)

Rotationsvolumen

∫ (0 bis 8) (pi·(2·x), x, 0, 8) dx + ∫ (8 bis √80) (pi·(80 - x^2)) dx = pi·(640/3·√5 - 1216/3) = 225.2

Comments

Antwort im Buch ist V1=64pi

V2=7.7 pi,

Warum haben Sie 225.2?

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Warum haben Sie 225.2?

Das hasst du jetzt nicht wirklich gefragt oder???

64·pi + 7.7·pi = 225.2521932

Answer 2

Die Kurve f ist ein Kreis um (0;0) mit´t r=√80 und

bei g eine nach rechts geöffnete Parabel mit Scheitel (0;0).

Es genügt also die Flächen zu betrachten:

A1:  Fläche "unter" g(x) = √(2x)  im Bereich von 0 bis 8 und

A2:  Fläche "unter" f(x) = √(80-x^2)  im Bereich von  8 bis √80 und

und die beide um die x-Achse rotieren zu lassen.

Gibt zwei Integrale, deren Werte dann addiert werden müssen:

pi*∫ von 0 bis 8 über   2x dx

  und   pi*∫ von 8 bis √80   über 80 -x^2   dx

Bekomme ich ungefähr   pi*(64 + 7,7 ) .

Answer 3

Lasse die hellgraue und die dunkelgraue Fläche rotieren:

π(\( \int\limits_{0}^{8} \)(80-x^2)dx+\( \int\limits_{8}^{4\sqrt{5}} \)(2x)dx) .