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Ich beschäftige mich derzeit mit folgender Aufgabe

Es seien V ein n-dimensionaler reeler Vektorraum, F eine positiv definite, symmetrische Bilinearform auf V und G = (gij) i,j =1....n ihre Formmatrix bzgl der Basis a1,...., an von V

a) Zeigen sie für Kongruente reele Matrizen G', G'' gilt stets: det G'>0 genau dann wenn det G''>0

Also sind G' und G'' kongruent zu G?
Und zeige ich dass dann durch zwei Implikationen also zwei Richtungen?

Meine Gedanken bis jetzt:
Durch den Trägheitssatz von Slyvester weiß ich ja, dass unter anderem Rang, Typ, Signatur der Formmatrix Invariant für die Kongruenz sind oder nicht?
Dies muss ich dann benutzen um etwas über die Determinate auszusagen? Zum Beispiel ist die Determinante ja ungleich null, wenn ich vollen Rang habe, aber irgendwie weiß ich nicht recht, wie ich anfangen soll

von

 ich habe diese mittlerweile gelöst

1 Antwort

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$$   \det{G'} = \det (P^t G'' P) = \det(P)^2 \det(G'')   $$ Daraus folgt die Behauptung

von 27 k

Dankeschön!:)

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