Zeigen Sie Orthonormalbasis.

Question

Text erkannt:

E seien $\mathbb{R}^{2}$ mit der Standardbasis $S, \phi \in O_{2}(\mathbb{R})$ eine Isometrie bzgl. des Standardskalarproduktes $\langle\cdot, \cdot\rangle$ und $D_{S}(\phi)=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$.
(a) Zeigen Sie, dass $\left\{\left(\begin{array}{l}a \\ c\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}b \\ d\end{array}\right)\right\}$ eine Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^{2}$ bildet.
(b) Zeigen Sie $b=\pm c$ und $a=\pm d$.
(c) Zeigen Sie, dass es ein $\alpha \in[0,2 \pi[$ gibt mit
$$D_{S}(\phi)=\left(\begin{array}{cc} \cos (\alpha) & -\sin (\alpha) \\ \sin (\alpha) & \cos (\alpha) \end{array}\right) \quad \text { oder } \quad D_{S}(\phi)=\left(\begin{array}{cc} \cos (\alpha) & \sin (\alpha) \\ \sin (\alpha) & -\cos (\alpha) \end{array}\right) .$$
Hinweis: Sie dürfen in Teil (c) die Definition des Sinus und Cosinus im Einheitskreis benutzen.

Answer 1

(a) Die Spalten der Darstellungsmatrix sind die Bilder der Basisvektoren.

(b) Aus der Orthogonalität folgt

(1)        $a\cdot b+c\cdot d=0$.

Aus der Normiertheit folgt

(2)        $c=\sqrt{1-a^{2}}$

und

(3)        $b=\sqrt{1-d^{2}}$.

Setze (2) und (3) in (1) ein und forme um.

(c) Es ist $\phi(0) = 0$. Also liegt das Bild $\phi(\hat{e})$ des Basisvektors $\hat{e}$ auf dem Einheitskreis.