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E seien R2 \mathbb{R}^{2} mit der Standardbasis S,ϕO2(R) S, \phi \in O_{2}(\mathbb{R}) eine Isometrie bzgl. des Standardskalarproduktes , \langle\cdot, \cdot\rangle und DS(ϕ)=(abcd) D_{S}(\phi)=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) .
(a) Zeigen Sie, dass {(ac),(bd)} \left\{\left(\begin{array}{l}a \\ c\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}b \\ d\end{array}\right)\right\} eine Orthonormalbasis von R2 \mathbb{R}^{2} bildet.
(b) Zeigen Sie b=±c b=\pm c und a=±d a=\pm d .
(c) Zeigen Sie, dass es ein α[0,2π[ \alpha \in[0,2 \pi[ gibt mit
DS(ϕ)=(cos(α)sin(α)sin(α)cos(α)) oder DS(ϕ)=(cos(α)sin(α)sin(α)cos(α)). D_{S}(\phi)=\left(\begin{array}{cc} \cos (\alpha) & -\sin (\alpha) \\ \sin (\alpha) & \cos (\alpha) \end{array}\right) \quad \text { oder } \quad D_{S}(\phi)=\left(\begin{array}{cc} \cos (\alpha) & \sin (\alpha) \\ \sin (\alpha) & -\cos (\alpha) \end{array}\right) .
Hinweis: Sie dürfen in Teil (c) die Definition des Sinus und Cosinus im Einheitskreis benutzen.

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(a) Die Spalten der Darstellungsmatrix sind die Bilder der Basisvektoren.

(b) Aus der Orthogonalität folgt

(1)        ab+cd=0a\cdot b+c\cdot d=0.

Aus der Normiertheit folgt

(2)        c=1a2c=\sqrt{1-a^{2}}

und

(3)        b=1d2b=\sqrt{1-d^{2}}.

Setze (2) und (3) in (1) ein und forme um.

(c) Es ist ϕ(0)=0\phi(0) = 0. Also liegt das Bild ϕ(e^)\phi(\hat{e}) des Basisvektors e^\hat{e} auf dem Einheitskreis.

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