Logarithmus, Exponentialgleichung: a) 2x = 0,5^(x+1)

Question

Bestimmen Sie für die folgenden Gleichungen jeweils die Lösungsmenge über der Grundmenge R.


a) 2^x = 0,5^(x+1)

b) 2 · log10(x ) − log10(2) = log10(18)

Vielen Dank im voraus!!

Answer 1

Aloha :)

$$\left.2^x=0.5^{x+1}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$x\ln(2)=(x+1)\ln\left(\frac{1}{2}\right)$$$$x\ln(2)=(x+1)\ln\left(2^{-1}\right)$$$$\left.x\ln(2)=-(x+1)\ln(2)\quad\right|\;:\ln(2)$$$$\left.x=-x-1\quad\right|\;+x$$$$\left.2x=-1\quad\right|\;:2$$$$x=-\frac{1}{2}$$

$$\left.2\log_{10}(x)-\log_{10}(2)=\log_{10}(18)\quad\right|\;+\log_{10}(2)$$$$\left.2\log_{10}(x)=\log_{10}(18)+\log_{10}(2)\quad\right.$$$$\left.\log_{10}(x^2)=\log_{10}(36)\quad\right|\;10^\ldots$$$$\left.x^2=36\quad\right|\;\sqrt\cdots$$$$x=6$$(-6) ist keine Lösung, weil der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert ist.

Comments

Der Fall x=-6 entfällt, da er nicht zum Definitionsbereich der eingesetzten Logarithmen gehört.

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Danke abakus!

Habe ich auf dem kleinen Handy-Bildschirm übersehen (bin im Urlaub). Habe es nun oben korrigiert.

Answer 2

a) 2^x = 0,5^(x+1) = 2^(-x-1)

Exponentenvergleich:

x= -x-1

2x=-1

x= -1/2

b) log = log_10

logx² - log2 = log18

log(x²/2) = log18

x²/2 = 18

x² = 36

x= +-6 ( -6 entfällt)