Wie löse ich die Betragsfunktion |x^2-1| auf?

Question

Aufgabe:

Ich soll die Stetigkeit im Wert x=+-1 bei der Betragsfunktion |x²-1| untersuchen.

Problem/Ansatz:

Ich muss die Betragsfunktion ja aufteilen in mehrere Funktion für unterschiedliche Definitionsbereiche. Ich weiß aber nicht in welche.

Die erste die ich habe, ist in der Mitte der Funktion

f(x)={-x²+1 für -1<x<1

Answer 1

Aloha :)

Beim Betrag ist das Vorzeichen des Arguments egal. Daher gilt:$$|x^2-1|=|1-x^2|$$Für \(x^2\le1\) ist das Argument \(\ge0\), sodass die Betragstriche weggelassen werden können.

Für \(x^2>1\) ist das Argument \(<0\), sodass Betragstriche weggelassen werden können, wenn das Argument negiert wird.

Daher ist:$$|x^2-1|=\left\{\begin{array}{l}1-x^2&\text{falls }x\in[-1;1]\\x^2-1&\text{sonst}\end{array}\right.$$

Answer 2

\(x^2-1=0  \Leftrightarrow x_{1,2}=\pm 1\)

Also \(x^2-1\) für \(x\leq -1 \,\vee \, x\geq 1\) und \(-(x^2-1)\) für \(-1<x<1\).

\(f(x)=\begin{cases}x^2-1 & x \leq -1 \\ x^2+1 & -1 < x <1 \\ x^2-1 & x \geq 1\end{cases} = \begin{cases} -x^2+1 & -1 < x <1 \\ x^2-1 & \text{sonst}\end{cases}\)

Wie bereits zu erkennen ist sie stetig.

Answer 3

1.) f(x)=x²-1 für x²>1

2.) f(x)=1-x² für x²<1