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ich soll das folgende Integral (näherungsweise) berechnen:$$\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}dx$$Ich weiß, dass die exakte Lösung \(\sqrt{2\pi}\) lautet.

Meine Idee ist nun, die Kurve durch andere Funktionen zu nähern. Ich dachte an eine nach unten geöffnete Parabel in der Mitte und Hyperbeln für die linke und rechte Seite. Passt das so, oder wie würdet ihr vorgehen?

Danke euch!

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Aloha :)

Du hast das "näherungsweise" in Klammern gesetzt, daraus leite ich ab, dass auch eine exakte Berechnung erlaubt ist. Die Lösung ist dir ja bereits als \(\sqrt{2\pi}\) bekannt. Daraus kann man direkt eine Idee ableiten. Wenn irgendwo der Faktor \(\pi\) auftaucht, verbirgt sich im Hintergrund immer irgendwo was Rundes, meistens ein Kreis oder eine Kugel. Zusammen mit der Wurzel kann man daher vermuten, dass das Quadrat dieses Integrals was mit einem Kreis zu tun hat. Sei also$$I=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}dx$$Dann ist

$$I^2=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}dx\cdot\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-y^2/2}dy=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)/2}dx\,dy$$In ebenen Polarkoordinaten können wir den gesamten \(\mathbb{R}^2\) abtasten:

$$r^2=x^2+y^2\;\;;\;\; dx\,dy=r\,dr\,d\varphi\;\;;\;\;r\in[0;\infty]\;\;;\;\;\varphi\in[0;2\pi[$$und daher das Integral wie folgt schreiben:

$$I^2=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\infty} e^{-r^2/2}\,r\,dr=\left[\varphi\right]_0^{2\pi}\cdot\left[-e^{-r^2/2}\right]_0^{\infty}=2\pi\cdot1$$Und das gesuchte Integral ist$$I=\sqrt{2\pi}$$Dass nur die positive Lösung in Frage kommt, ist klar, weil die Kurve oberhalb der x-Achse verläuft.

Avatar von 148 k 🚀
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Du kannst das Integral auch numerisch berechnen mit einer üblichen Methode.

Avatar von 39 k
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Es ist die Frage, wie gut die Näherung sein soll. Eine Möglichkeit wäre die Annäherung über ein oder mehrere Rechtecke:

blob.png

Diese Annäherung über ein Rechteck ist mit 3 noch nicht wirklich gut.

Avatar von 123 k 🚀
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Du setzt --x^2/2 =z

------>e^z

dann setzt Du für e^z =1 +z+z^2/2 +z^3/6 .. an (Taylorreihe)

Avatar von 121 k 🚀

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