Aloha :)
Ein Vektorfeld \(\vec f(\vec r)\) besitzt genau dann ein Potential \(F(\vec r)\), wenn gilt:$$\vec f(\vec r)=-\text{grad}\,F(\vec r)$$Um zu prüfen, ob ein Vektorfeld \(\vec f(\vec r)\) ein solches Potential hat, wird in vielen "Lehrbüchern" oder von Professoren gerne der Satz verwendet, dass die Rotation eines Gradientenfeldes verschwindet und dass umgekehrt bei verschwindender Rotation eines Vektorfeldes dieses ein Gradientenfeld sein muss. Mit anderen Worten ist das Möglichkeit 1:
1) Prüfe, ob \(\text{rot}\,\vec f(\vec r)=\vec 0\) ist. Wenn ja, gibt es ein Potential. Wenn nein, gibt es kein Potential.
Diese Möglichkeit ist aber oft sehr viel Rechnerei und danach weiß man ja nur, ob es ein Potential gibt und muss dieses dann trotzdem noch berechnen.
Zur Berechnung eines Potentials \(F(\vec r)\) nutzt man aus, dass bei Existenz eines solchen das Kurvenintegral über das Vektorfeld \(\vec f(\vec r)\) unabhängig vom gewählten Weg \(C\) zwischen 2 Punkten A und B ist:$$\int\limits_{\vec r_a}^{\vec r_b}\vec f(\vec r)\,d\vec r=\int\limits_{t_a}^{t_b}\vec f(\vec r(t))\frac{d\vec r}{dt}\,dt=F(\vec r_a)-F(\vec r_b)$$Beachte die Vertauschung von A und B beim Einsetzen in das Potential, dies ist dem Minuszeichen aus der Definition geschuldet.
Um das Potential zu finden, wählst du also einen beliebigen (möglichst einfachen) Weg C zwischen 2 Punkten (von denen einer, wenn möglich, der Nullvektor sein sollte) aus und berechnest das zugehörige Kurvenintegral.
Daraus ergibt sich Möglichkeit 2 zur Prüfung, ob ein Vektorfeld ein Potential hat.
2) Berechne das mögliche Potential durch Wahl eines beliebigen Weges und prüfe dann anschließend, ob der negative Gradient des berechneten Potentials tatsächlich das Vektorfeld liefert. Wenn ja, gibt es ein Potential und du hast es (bis auf eine Konatante) bereits gefunden. Wenn nein, gibt es kein Potential.
