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Aufgabe:

Sei $$ W=\operatorname{span}\left\{7, e^{t}, e^{2 t}, e^{-3 t}\right\} \subset C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) $$ der lineare Unterraum der reellwertigen differenzierbaren Funktionen.

Sei $$ \varphi : W \rightarrow W $$ gegeben durch die Formel: $$ f \mapsto 3 f+f^{\prime}+f(0) $$


Problem/Ansatz:

Ich muss die Dimension von W bestimmen und beweisen, dass die Abbildung ein Endomorphismus von W ist

$$ \begin{array}{l}{f(7)=21+0+7=28} \\ {f\left(e^{t}\right)=3 e^{t}+e^{t}+1=4 e^{t}+1} \\ {f\left(e^{2 t}\right)=3 e^{2 t}+2 e^{2 t}+1=5 e^{2 t}+1} \\ {f\left(e^{-3 t}\right)=3 e^{-3 t}-3 e^{-3 t}+1=1}\end{array} $$

$$ A=\left|\begin{array}{cccc}{4} & {0} & {0} & {0} \\ {\frac{1}{7}} & {4} & {0} & {0} \\ {\frac{1}{7}} & {0} & {5} & {0} \\ {\frac{1}{7}} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}{7} \\ {e^{t}} \\ {e^{2 t}} \\ {e^{2 t}}\end{array}\right| $$

stimmt das soweit?

vor von

1 Antwort

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Hallo

 ja bisher alles richtig, was ist deine Frage?

Gruß lul

vor von 26 k

Wie beweise ich, dass die Abbildung ein Endomorphismus ist? Die Dimension von W kann man ja von der Matrix ablesen oder? also 3.

hallo

 da W 4 lin unabhängige Vektoren im span hat sollte es 4d sein nicht 3

die Abbildung bildet dann in einen 3d UR ab. da du ja aber die Matrix, (nach der nicht gefragt war) schon hast, ist es eine lineare Abb. und damit ein Endomorphismus.

lul

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