Hallo Peter,
Im Prinzip gaht das so. Da steht sowas wie \((a-b) \cdot x \cdot (a-b)\). Wären \(a,\,b\) und \(x\) Skalare, dann könntest Du die Reihenfolge tauschen - es gilt dann das Kommutativgesetz - und man könnte schreiben$$(a-b) \cdot x \cdot (a-b) = (a-b)^2x = a^2x - 2abx + b^2x$$Da stehen aber Vektoren und da gilt das Kommutativgesetz bei der Multiplikation nicht! Es ist $$a \cdot b \ne b \cdot a$$wobei es genauer wäre zu schreiben$$a ^T \cdot b \ne b \cdot a^T$$Sind \(a\) und \(b\) Spaltenvektoren (das wäre üblich!), dann stände links das Skalarprodukt (i.A. eine Zahl) und rechts das dyadische Produkt - also eine Matrix.
Demnach muss man \((a-b) \cdot x \cdot (a-b)\) wie folgt schreiben:$$(a-b) \cdot x \cdot (a-b) = axa - axb - bxa + bxb$$Jetzt schreibst Du aber, dass zumindes das \(a = y(i)\) ein Skalar ist, und den darf man auch bei der Multiplikation mit einem Vektor vertauschen. Daraus folgt dann \(axa = a^2x\) und das steht da ja auch.
Bei den mittleren Termen steht dort immer ein Skalarprodukt, was mit einem anderen Skalarprodukt multipliziert wird:$$- axb - bxa = -y(i) \left( \xi(i)^{T} \xi(i) \right) \left( \theta^{T} \varphi(i)\right) - \left( \theta^{T} \varphi(i)\right)\left( \xi(i)^{T} \xi(i) \right) y(i)$$die Ausdrücke in Klammern sind wieder Skalare, die man wieder vertauschen kann, d.h. da steht zweimal der gleiche Ausdruck und das darf man zusammen fassen. Und da das Assoziativgesetz auch bei der Vektor(Matrix)multiplikation gilt, kann man die Klammern anschließend auch wieder weg lassen.
Der letzte Ausdruck erklärt sich ebenso.
Zu den Ableitungen: Was nicht von \(\Theta\) abhängig ist, fällt raus. Damit bleibt nur der mittlere und der rechte Term übrig. Der rechte Term ist von der Form $$a \cdot \Theta^T \varphi(i) = a \cdot \begin{pmatrix} x_1 &\dots& x_n\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \varphi_1 \\ \vdots \\ \varphi_n\end{pmatrix}$$ \(a\)ist ein Skalar. Wird dies nach \(\Theta\) abgeleitet, so wird daraus $$\to a \cdot \begin{pmatrix} \varphi_1 \\ \vdots \\ \varphi_n\end{pmatrix}$$Also wird daraus: $$2y(i) \xi(i)^{T} \xi(i)\theta^{T} \varphi(i) \to \left( 2y(i) \xi(i)^{T} \xi(i) \right) \cdot \varphi(i)$$ Die Klamer darf man jetzt aber nicht einfach weg lassen, da hinten die Multiplikation zweier Spaltenvektoren steht (nicht transponiert). Und deshalb stellt mandas \(\varphi(i)\) einfach an den Anfang (Kommutativgesetzt Skalar Vektor ist ok) und dann lässt man die Klammer weg.
Den letzten Ausdruck kannst Du jetzt selbst mal versuchen. Falls noch was unklar ist, so frage bitte nach.
Gruß Werner
