Matrix bzgl. Standardbasis bestimmen

Question

Betrachten Sie die lineare Abbildung \( F : ℝ^3 \rightarrow ℝ^3 \), welche den Vektor \( \begin{pmatrix} 1\\3\\0 \end{pmatrix} \) mit 2 multipliziert, den Vektor \( \begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix} \) mit -1 und den Vektor \( \begin{pmatrix} 3\\1\\1 \end{pmatrix} \)  festhält.

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Matrix von F bzgl. der Standardbasis

Ansatz:

M = \( \begin{pmatrix} 2 & -3 & 3 \\ 6 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} \)

B = \( \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \)

Also, \( B^{-1} \cdot M \cdot B \).

Das wäre also mein Vorgehen wenn ich eine Matrix bzgl. einer bestimmten Basis B ausrechnen müsste, aber da hier die Matrix bzgl. der Standardbasis gefragt ist, bin ich etwas verwirrt.

Wie geht man denn hier am besten vor?matr

Answer 1

In den Spalten der Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren

bezüglich dieser Basisvektoren.

Für die Standardbasisvektoren bedeutet das:

Für die erste Spalte brauchst du also das Bild von

1
0
0

Da stellst du den mit den gegebenen Vektoren dar

1               1                3                3
0    =    x*  3    +   y*   2     + z *    1
0               0                1                1

gibt x=1   y= -3     z=3

und sein Bild ist also

    1                2                -3                3          20
F(0)    =    1*  6    +   -3*   -2     + 3 *    1 =      15 
   0                 0                 -1                1           6

Und das ist dann die erste Spalte der gesuchten

Matrix. Die anderen entsprechend.

Wenn du deinen Ansatz benutzen willst, musst du bei M

die Bilder der gegebenen Vektoren durch diese ausdrücken, also

            2       0         0
M  =     0        -1       0     
            0        0         1

und   B*M*B^-1 rechnen.

Mein Ergebnis :   A=

20  -6   -51
15  -3   -41
6    -2   -15

Zur Probe etwa

      1             2
A *  3    =      6
      0             0

passt also. Bei den anderen beiden

passt es auch  :-)

Comments

Ich habe jetzt deinen Ansatz verfolgt und auch die Matrix \( F = \begin{pmatrix} 20 & -6 & -51 \\ 15 & -3 & -41 \\ 6 & -2 & -15 \end{pmatrix} \)  rausbekommen.

Mit diesem Ansatz B*M*B^-1 komm ich auf das gleiche Ergebnis. Nur verstehe ich grad nicht warum B*M*B^-1 und nicht B^-1*M*B. Denn,

\( B = s_3id_B \) und \( B^{-1} = Bids_3 \)

und die Formel lautet \( Bids_3 \cdot s_3ids_3 \cdot s_3id_B\)

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Aber deine Matrix B ist doch die, die die drei gegebenen

Basisvektoren (nennst du wohl s3) enthält.

Wenn also ein Vektor v bzgl. dieser Basis z.B.

die Koordinaten (1 0 0 ) hat, dann ist es doch der erste

dieser drei. Und den bekommst du (in Koordinaten bzgl.

der Stand.basis) durch

       1
B *  0
       0.

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Ach die Sache ist ja die, das ich F bzgl. der Standardbasis (s_3 bei mir) suche und nicht F bzgl. der Basis B...

Also lautet die Formel dann auch: \( s_3id_B \cdot BM_B \cdot B_ids_3\)