Wie kann man hier die Symmetrie berechnen? f(x) = x^3 + 6x^2 + 6x - 4

Question

Aufgabe:

f(x)= \( x^{3} \)+6* \( x^{2} \)+6*x -4

g(x)= f(x-2) also um 2 nach rechts verschoben

Jetzt soll man die Symmetrie von beiden Graphen berechnen.

Problem/Ansatz:

Ich konnte nur durch den Funktionsplotter rausfinden sehen, dass g(x) nun durch den Ursprung verläuft und somit Punkt symmetrisch ist.

Comments

Vom erstem Teil der Frage

Titel: Welche Symmetrie liegt hier vor?

Stichworte: symmetrie

Aufgabe:

f(x)= \( x^{3} \)+ 6\( x^{2} \)+6x-4

meine lösung:

keine Symmetrie

Answer 1

Deine Lösung ist richtig, wenn es nur um Punktsymmetrie zu (0|0) oder Achsensymmetrie zur y-Achse geht.

Es liegt Symmetrie zum Punkt (-2|0) vor.

Answer 2

f(x) wurde dir bereits beantwortet.

g(x) = x^3 - 6x und besitzt aufgrund der ausschließlich ungeraden Potenzen eine Zentralsymmetrie zum Ursprung.

Comments

Könnten Sie mir eine detailliertere Rechnung dazu schicken?

---

Es gilt f(x) = -f(-x) ⇔ (x^3-6x) = -((-x)^3-6(-x)), somit ist die Funktion zentralsymmetrisch zum Ursprung.

---

Aber der Ausgangsterm ist ja

g(x) = (x-2)^3 + 6*(x-2)^2 + 6*(x-2) -4

---

Die zwei Terme sind identisch.

(x-2)^3 + 6*(x-2)^2 + 6*(x-2) -4 ≡ x^3 -6x

---

Könnten Sie mir die Rechnung nochmal mit dem langen Term schicken?

---

    (x-2)^3 + 6*(x-2)^2 + 6*(x-2) - 4  =  -( (-x-2)^3 + 6*(-x-2)^2 + 6*(-x-2) - 4 )
⇔ (x-2)^3 + 6*(x-2)^2 + 6*(x-2) - 4  =   -(-x-2)^3 - 6*(-x-2)^2 - 6*(-x-2) + 4
usw.

Answer 3

Bei einer Funktion 3.Grades ist der Punkt-Symmetriepunkt
der Wendepunkt
Der Punkt W ( -2 | 0 ) ist der Wendepunkt.

Für g ist der Wendepunkt ( 0 | 0 )

Comments

Und wie berechne ich den Wendepunkt?

---

Du setzt die 2. Ableitung = 0 und löst nach x auf. Dann prüfst du, ob an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel vorliegt, womit auch das Krümmungsverhalten ermittelt wird, oder du setzt den x-Wert in die 3. Ableitung. Das Ergebnis muss dann ungleich 0 sein.

Um die y-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen, setzt du den x-Wert in die Ausgangsgleichung ein.

---

Mit der 2. Ableitung. Wenn ihr das noch nicht im Unterricht hattet, kommt es bestimmt demnächst.

---

g ( x ) = (x-2)^3 +  6 * ( x - 2 )^2 + 6*(x-2) - 4
1.Ableitung
g ´( x ) = 3 * (x-2)^2 +  6 * 2 * ( x - 2 )^1 + 6
g ´( x ) = 3 * (x-2)^2 +  12 * ( x - 2 ) + 6
2.Ableitung
g ´( x ) = 3 * 2 * (x-2)^1 +  12
g ´( x ) = 6 * (x-2 ) +  12
g ´( x ) = 6 * x - 12  +  12
g ´( x ) = 6 * x
Wendestelle
6 * x = 0
x = 0
y-Wert
g ( 0 ) = (0-2)^3 +  6 * ( 0 - 2 )^2 + 6*(0 - 2 ) - 4
g ( 0 ) = -8 +  24  -- 12 - 4
g ( 0 ) = 0

W ( 0 | 0 )