Aloha :)
Der Umfang des Rechtecks ist:$$U=2a+2b=54$$Diese Beziehung kann man nach \(b\) umstellen:
$$\left.2a+2b=54\quad\right|\;:2$$$$\left.a+b=27\quad\right|\;-a$$$$b=27-a$$Die Fläche des alten Rechtecks ist \(a\cdot b\) die Fläche des veränderten Rechtecks ist \((a+9)\cdot(b-4)\). Die veränderte Fläche ist um 12 cm² größer als die alte Fläche, das bedeutet in Formeln:
$$\left.(a+9)\cdot(b-4)=ab+12\quad\right|\;\text{Klammern ausmultiplizieren}$$$$\left.ab+9b-4a-36=ab+12\quad\right|\;-ab$$$$\left.9b-4a-36=12\quad\right|\;+36$$$$\left.9b-4a=48\quad\right.$$Jetzt können wir für \(b\) das Ergebnis aus der Umfang-Betrachtung einsetzen:
$$\left.9\underbrace{(27-a)}_{=b}-4a=48\quad\right|\;\text{Klammern ausmultiplizieren}$$$$\left.243-9a-4a=48\quad\right|\;-243$$$$\left.-13a=-195\quad\right|\;:(-13)$$$$a=15$$Damit ist \(b=27-a=27-15=12\) und die gesuchte Lösung ist:
$$a=15\quad;\quad b=12$$
