Verhalten der gebrochenrationalen Funktion f(x)=(x^6-1)/(x^2-1) auf Definitionslücken

Question

wie kann man das Verhalten der Funktion f(x)=(x⁶-1)/(x²-1)  in der Nähe der Definitionslücke untersuchen, welcher Umformungsschritt muss hier gemacht werden?

Vielen Dank

Answer 1

Führe eine Polynom Division aus dann bekommst Du $$ \frac{x^6-1}{x^2-1} = x^4 +x^2 +1  $$

Answer 2

f ( x ) = ( x^6-1 ) / ( x^2-1 )

Division durch 0 bei
x^2 - 1 = 0
x^2 = 1

Definitionslücken
x = + 1
x = -1

Für lim x -> +1 darf noch gekürzt werden
( Polynomdivision )
f ( x ) = x^4 + x^2 +1
f ( 1 ) = 3

An der Stelle lim x -> +1 ist keine Polstelle
vorhanden sondern ein hebbare Lücke.

Frag nach bis alles klar ist.

Comments

Hi,

\( x = -1 \) ist auch eine hebbare Lücke. Es gilt ebenfallas \( f(-1) = 3 \)

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@ullim: Ich würde Limes verwenden im zweiten Satz oder schreiben: Die Lücke bei x= - 1 lässt sich stetig heben mit der Definition f(-1):= 3.