Verhalten an den Definitionslücken von: f(x):= ( (x-1) (x+2) ) / ( (x+2) (x-2) (x-1) )

Question

Aufgabe:

Verhalten an den Definitionslücken von:

f(x)= \( \dfrac{(x-1) (x+2) }{(x+2) (x-2) (x-1)} \)

Problem/Ansatz:

Df= R/ {1 ; -2 ; 2}

Nach Abkürzung:
f(x)= \( \frac{1}{x-2} \)

Wenn ich jetzt das Verhalten an den Definitionslücken an der Stelle x = 2 rechne dann kommt folgendes raus :

lim x geht gegen 2 (>) f(x) = \( \frac{1}{2-2} \) = plus unendlich
lim x geht gegen 2 (<) f(x) = \( \frac{1}{2-2} \) = minus unendlich

Somit hat man eine senkrechte Asymptote bei x= 2 richtig?

Doch die Frage ist, was soll ich mit 1 und -2 rechnen, die ich bei der Definitionsmenge am Anfang bestimmt habe?
Soweit ich mich erinnern kann, muss ich das Verhalten bei den Stellen auch untersuchen, oder?

also dann:

lim x geht gegen 1 (>) = \( \frac{1}{1-2} \) = -1 ???wäre das ein "Loch"?
lim x geht gegen 1 (<) = \( \frac{1}{1-2} \) = -1  wäre das ein Loch?


lim x geht gegen -2 (>) = \( \frac{1}{-2-2} \) = \( \frac{1}{-4} \)  = ??? wäre das ein Loch?
lim x geht gegen -2 (<) = \( \frac{1}{-2-2} \) = \( \frac{1}{-4} \)  = ??? wäre das ein Loch?

Answer 1

Somit hat man eine senkrechte Asymptote bei x= 2 richtig?

Ja, es liegt eine Polstelle mit VZW vor.

was soll ich mit 1 und -2 rechnen

Du hast ja schon den gekürzten Term 1/(x-2) angegeben. Also sind an den Stellen x=-2, x=1 die Definitionslücken hebbar, da sowohl Nenner als auch Zähler an dieser Stelle null werden und die Vielfachheit des Nenner dort kleiner oder gleich die des Zählers ist.

Answer 2

Doch die Frage ist, was soll ich mit 1 und -2 rechnen, die ich bei der Definitionsmenge am Anfang bestimmt habe? Soweit ich mich erinnern kann, muss ich das Verhalten bei den Stellen auch untersuchen, oder?

Für \(x\to-2\) beispielsweise kannst du schreiben:

$$\lim\limits_{x\to-2} \dfrac{(x-1) (x+2) }{(x+2) (x-2) (x-1)} = \lim\limits_{x\to-2} \dfrac{(x-1)}{(x-2) (x-1)}=-\dfrac 14$$

Es muss also nicht mal vollständig gekürzt werden, es genügt, wenn der Problemfaktor aus dem Spiel ist. (Vollständiges Kürzen erleichtert hier natürlich die Rechnung.) Das separate Betrachten der Limiten von links und rechts ist dagegen unnötige Arbeit.

Der Graph von f erweist sich also an seiner Definitionslücke \(x=-2\) als stetig ergänzbar, weswegen der Punkt \(\left(-2\:\vert\: f(-2)\right)\) anschaulich, so wie du es gemacht hast, als "Loch" im Graphen aufgefasst werden kann.

Entsprechendes gilt für \(x\to1\).

Answer 3

f ( x ) = [(x-1)*(x+2]  /  [(x-1)*(x+2](x-2)]

mit lim x geht gegen 1 (+) darf noch gekürzt werden
[(x-1)*(x+2] / [(x-1)(x+2](x-2) ]
[(x+2] / [ (x+2](x-2) ]

f ( 1(+) = [(1(+) +2] / [ (1(+)+2] (1(+) -2) ]
3 / [ 3 * (-1) ]
f ( 1(+) )  = -1

Daselbe mit 1(-)
f ( 1(-) )= -1

Linker Grenzwert = rechter Grenzwert
also keine Polstelle

Es gilt aber immer noch
D = R \ {1 ; -2 ; 2}

Für die Funktion
( hebbare Lückenfunktion )
f * ( x ) = 1 / ( x - 2 )
gilt
f * ( 1 ) = -1
D = R \ ( 2 }

Die beiden Funktionen unterscheiden sich
im Def-Bereich

Answer 4

wäre das ein Loch?

Ja. Wenn du nach dem Kürzen einen endlichen Wert bekommst, hat der Graph einer gebrochenrationalen Funktion ein Loch.

Mit Hilfe der ergänzenden Definitionen f(1) := -1 und f(-2):= -0.25 könntest du die Funktion in den Definitionslücken x1=-1 und x2 = -2 stetig ergänzen.

~plot~ 1/(x-2);x=2;x=-2;x=1 ~plot~