Verhalten der gebrochenrationalen Funktion f(x)=(3*x^2+11x-4)/(x^2-16) bei den Definitionslücken

Question

wie kann man das Verhalten der Funktion f(x)=(3*x²+11x-4)/(x²-16)  in der Nähe der Definitionslücken untersuchen, welcher Umformungsschritt muss hier gemacht werden?

Vielen Dank

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Titel: Wie verhält sich die Funktion bei Definitionslücke

Stichworte: definitionslücke,funktion

wie kann man das Verhalten der Funktion f(x)=(3*x²+11x-4)/(x²-16)  in der Nähe der Definitionslücke untersuchen, welcher Umformungsschritt muss hier gemacht werden?

Vielen Dank

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Da es zwei Definitionslücken gibt, ein n ergänzt in der Fragestellung.

Answer 1

Der Definitionsbereich der Funktion ist \(\mathbb{D}_f =\mathbb{R}\backslash \{\pm 4\}\). Es gilt für alle \(x\in \mathbb{D}_f\):$$f(x)=\frac{3x^2+11x-4}{x^2-16}=\frac{(x+4)(3x-1)}{(x-4)(x+4)}=\frac{3x-1}{x-4}$$ Folglich ist  \(f\) in \(x_0=-4\) stetig fortsetzbar. Weiterhin ist \(x_1=4\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

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vielen Dank,

ich habe noch eine Frage: Wie kommt man auf das Zerlegen im Zähler in diese beiden Faktoren. Gibt es da eine Vorgehensweise?

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Ja, berechne die Nullstellen.

3x^2+11x-4=0

3(x^2+11/3x-4/3)=0

pq-formel oder satz von vieta und dann als linearfaktoren schreiben:

3(x-4)(x-1/3)=(3x-1)(x-4)

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Im Zähler muss es (x+4)·(3x-1) heißen.

Im Ergebnis dann entsprechend x-4 im Nenner.

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Danke für den Hinweis - Schusselfehler.

Answer 2

f(x)=(3*x^2+11x-4)/(x^2-16)

    Am besten faktorisieren

         = (3x-1) * (x+4) / ( x-4 )*(x+4)

für x≠-4 kürzen

       =  (3x-1)  / ( x-4 )

also ist f bei x=-4 stetig ergänzbar

(rechts und links Limes ist 13/8.

und für x gegen 4 ist

Rechtslimes +∞  und Linkslimes +∞

Du kannst nat. auch für x jeweils -4+h bzw. 4+h

einsetzen,  umformen  und dann die Grenzwerte für h gegen 0

jeweils für positives und negatives h betrachten

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Wie kommt man darauf, dass man den Zähler so faktorisieren kann? Gibt es da eine Vorgehensweise oder einen Trick?

Vielen Dank!

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einfach den Zähler gleich 0 setzen und mit abc-Formel

ausrechnen.