Ebenfalls eine Basis von V, Darstellungsmatrix

Question

Aufgabe:

$$\begin{array}{l}{\text { Eine Basis von } V :=\Pi_{2}(\mathbb{R}) \text { ist gegeben durch } \mathcal{M} :=\left(m_{1}, m_{2}, m_{3}\right)} \\ {\text { Hier ist } m_{1}(t) :=1, m_{2}(t) :=t \text { und } m_{3}(t) :=t^{2} \text { . }} \\ {\text { a) Zeigen Sie, dass auch } \mathcal{B} :=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \text { eine Basis von } V \text { ist. }} \\ {\text { Hierbei sind } b_{1}(t) :=3+t-2 t^{2}, b_{2}(t) :=-5-5 t+3 t^{2} \text { und } b_{3}(t) :=3-2 t^{2} \text { . }} \\ {\text { Im Folgenden indentifizieren wir }(V, \mathcal{M}) \text { mit }\left(\mathbb{R}^{3}, E_{3}\right) .}\end{array}$$

$$\begin{array}{l}{\text { b) Die lineare Abbildung } F : V \rightarrow V \text { ist wie folgt definiert: }} \\ {\qquad \begin{aligned} F & : V \rightarrow V \\ & p(t) \mapsto t\left(p^{\prime}+p^{\prime \prime}\right)(t) \\ \text { wobei } p^{\prime} \text { die Ableitung and } p^{\prime \prime} \text { die zweite Ableitung von } p \text { bezeichnen. } \\ \text { Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix } F_{\mathcal{M}}^{\mathcal{M}} \text { von } F \text { bezüglich der Basen } \mathcal{M} \text { und } \mathcal{M} . \end{aligned}}\end{array}$$

$$\begin{array}{l}{\text { c) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix } F_{B}^{B} \text { von } F \text { bezüglich der Basen } \mathcal{B} \text { und } \mathcal{B} \text { . }} \\ {\text { Hinweis: Sie können annehmen, dass die Basiswechselmatrizen } T_{\mathcal{M}}^{\mathcal{B}} \text { und } T_{\mathcal{B}}^{M} \text { wie folgt definiert }} \\ {\text { sind: }} \\ {\qquad T_{\mathcal{M}}^{B}=\left(\begin{array}{ccc}{3} & {-5} & {3} \\ {1} & {-5} & {0} \\ {-2} & {3} & {-2}\end{array}\right), \quad T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{M}}=\left(\begin{array}{ccc}{-10} & {1} & {-15} \\ {-2} & {0} & {-3} \\ {7} & {-1} & {10}\end{array}\right)}\end{array}$$

Problem/Ansatz:

wollte es bei a) mit einer Matrixdarstellung der Basen versuchen weiß aber nicht wie ich diese darstellen soll

$$\begin{pmatrix} 1 & t & t^{2} \end{pmatrix}$$

Comments

Wie erstelle ich die Matrix um die 0 Gleichung zu lösen?

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$$\begin{pmatrix} -2a & 3b & -2c \\ a & -5b & 0\\ 3a& -5b & 3c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t^{2}\\t\\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$ ??

Answer 1

Bei a) ist ja gegeben die Standardbasis ( 1 ; t ; t² ) von Π₂(ℝ), also Vektorraum der

Polynome höchstens 2. Grades, der hat also Dimension = 3.

  Da die angebliche Basis B auch aus drei Elementen besteht, genügt es deren

lineare Unabhängigkeit zu beweisen.

Ansatz  a*b1(t) + b*b2(t) + c*b3(t) = 0

gibt nach Umformung:

(-2a+3b-2c)*t² +(a+25b)*t+(3a+3c) = 0

Da dies eine Darstellung des 0-Polynoms mit der  Standardbasis

ist, sind alle Klammern gleich 0 und dies als Gleichungssystem

hingeschrieben hat die einzige Lösung   a=b=c=0.

Also ist B auch lin. unabh. und damit (s.o.) eine Basis von V.

b) In den Spalten der Matrix stehen die Koeffizienten der Bilder der Basisvektoren.

F(1) = t*(0+0) = 0

F(t) = t* (1 + 0) = t

F(t²) = t* (2t + 2) = 2t² + 2t

Also Matrix

0       0      0
0       1     2
0       0     2

c)  F^B_B = T^M_B * F^M_M * T^B_M

Da musst du nur noch einsetzen.

Comments

habe bei a jetzt

t²(-1a+3b-2c)+t(a-5b)+3a-5b+3c raus

Da dies eine Darstellung des 0-Polynoms mit der  Standardbasis

ist, sind alle Klammern gleich 0 und dies als Gleichungssystem

verstehe die Aussage nicht so ganz.

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und zu b)

wieso wird bei t(p´+p´´)(t)

das (t) ignoriert?

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Bei F(t²) = t* (2t + 2) = 2t2 + 2t

wird es nicht ignoriert.

Bei den anderen fällt es doch beim Bilden der

Ableitung weg

Ableitung von 1 ist  0 (oder wenn du willst 0t)

Ableitung von t ist  1

Ableitung von t²  ist  2t  (Da kommt das t vor !)

 

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wieso wird bei t(p´+p´´)(t) <- Das t meine ich

beim "einsetzen"

liest sich aber wohl einfach t mal ( ) von (t)

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Das gehört doch zu der Klammer davor, also

(p' + p'')(t)

ist also sowas wie f(t), also kein Faktor sondern die

Angabe der Funktionsvariable.

Die konstante Funktion 1 könnte man ja

auch   1(t) schreiben, tut aber keiner.