Aufgabe:
Untersuchen Sie, welche der folgenden Abbildungen
$$c: [0|1] \rightarrow \mathbb{C}$$
stetig-differenzierbar sind und bestimmen Sie für die Punkte $$t \in [0|1]$$
in denen dies sinnvoll ist, den normierten Richtungszeiger der Tangenten $$c(t)$$
Skizzieren Sie jeweils $$c$$ in der Gauß'schen Zahlenebene. Bestimmen Sie (falls möglich) in Abhängigkeit von $$\tau \in [0|1]$$ die Weglänge $$S(\tau)$$ vom Anfangspunkt bis zum Wegpunkt $$c(\tau)$$
a) $$c(t) := 1 + j + t \cdot {e}^{-j 2\pi t} (t \in [0|1])$$
b) $$c(t) := (1 + \cos{(2 \pi t)}){e}^{j 2 \pi t} (t \in [0|1])$$
c) $$c(t) := 3 \pi t - \sqrt{2} \cdot \sin{(3 \pi t)} + j \cdot (1 - \sqrt{2} \cdot \cos{(3 \pi t)}) (t \in [0|1])$$
Problem/Ansatz:
Bei allen habe ich zuerst $$c'(t)$$ ausgerechnet und bin da auf folgendes Ergebnis gekommen:
a) $$c'(t) = -2 \pi j \cdot t \cdot {e}^{-j 2 \pi t}$$
b) $$c'(t) = - \sin{(2 \pi t)} 2 \pi \cdot {e}^{j 2 \pi t} + (1 + \cos{(2 \pi t)}) \cdot {e}^{j 2 \pi t} j 2 \pi$$
c) $$c'(t) = 3 \pi - 3 \pi \sqrt{2} \cos{(3 \pi t)} + j 3 \pi \sqrt{2} \cdot \sin{(3 \pi t)}$$
Ist durch die Ableitungen bereits gesagt, ob die Funktionen stetig differenzierbar sind ?
Wenn ja
Dann wäre für den nächsten Punkt: "normierter Richtungszeiger der Tangenten".Die Formel: $$T_c = \frac{c'(t)}{|c'(t)|}$$ anzuwenden oder?
Bei der Bestimmung der Weglänge, müsste ich dann die Ableitung im Betrag integrieren. Also wie folgt:
$$L_c = \int_{0}^{1} |c'(t)| dt$$
Ist das bis hierhing richtig ?
