Hat diese Reihe einen endlichen Grenzwert?

Question

Liebe Leute,

ich hatte die Frage, wie man erkennen kann, ob eine Reihe einen Grenzwert hat oder nicht.

Zum Beispiel \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{1/(\sqrt{k})} \).

1+ 1/\( \sqrt{2} \)+ 1/\( \sqrt{3} \) + ….

Die einzelnen Folgenglieder gehen gegen 0. Ich glaube, dass das bedeutet, dass sie gegen 0 konvergieren. Der Grenzwert ist ja der Wert, gegen den die Partialsumme strebt. Wie kann ich erkennen resp. beweisen, ob jetzt beim obigen Beispiel die Summe einen Grenzwert hat, oder ob sie keinen Grenzwert hat und divergiert?

Comments

Alternativ zeige per Induktion über \(n\), dass \(\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}\ge\sqrt n\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt.

Answer 1

Nein. Diese Reihe hat keinen endlichen Grenzwert.

Du kannst die harmonische Reihe als divergente Minorante verwenden.

Weitere verwandte Reihen mit und ohne endlichen Grenzwert:

https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe#Verwandte_Reihen

Comments

Aber wie würde es dann bei einer Reihe wie z. Beispiel:

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{1/(2k+1)} \) sein?

Dann gilt doch die Regel mit der divergenten Minorante nicht, oder?

---

Kannst du mit etwas umformen dennoch verwenden:

Schreibe z.B. 1/3 vor das Summenzeichen der harmonischen Reihe. Das ist dann immer noch divergent und vergleiche deine Summanden mit dem Drittel / Viertel einer harmonischen Reihe.