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Aufgabe:

Ich soll folgende Aussagen nachweisen:

a) Ein Bruch mit endlicher Dezimaldarstellung hat einen Nenner der Form 2^k ·5^l für k, l ∈ Z≥0

b) Hat ein Bruch einen Nenner der Form 2^k · 5^l für k, l ∈ Z≥0, so hat der auch eine endliche
Dezimaldarstellung.

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Ein Bruch mit endlicher Dezimaldarstellung hat einen Nenner der Form 2^k ·5^l für k, l ∈ Z≥0

Ist die Dezimaldarstellung endlich, etwa n Stellen hinter dem Komma,

dann kann man den Bruch schreiben mit dem Nenner 10^n .

Der Nenner enthält als Primfaktoren also nur 2en und 5en. Einige

davon lassen sich eventuell mit dem Zähler kürzen, also bleibt beim

vollständig gekürzten Bruch  etwas von der Art 2^k ·5^l mit  k, l ∈ Z≥0 .

Ganz korrekt müsste es also dann wohl heißen

Ein vollständig gekürzter Bruch (aber vielleicht gehört das zu eurer

Definition von "Bruch" ) mit endlicher

Dezimaldarstellung hat einen Nenner der Form 2^k ·5^l für k, l ∈ Z≥0 

Umgekehrt:

Hat ein Bruch einen Nenner der Form 2k · 5l für k, l ∈ Z≥0,

so kann man ihn so erweitern, dass der Nenner die Form

2^n · 5^n  bekommt, wobei n das Maximum von k und l ist.

Das ist aber dann   10^n also  man den Bruch schreiben in

der Form  x / 10^n und das gibt einen Dezimalbruch mit n

Stellen hinter der Komma.

Avatar von 287 k 🚀

Vielen vielen Dank.

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