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Aufgabe:

  () Fu¨r alle x(1,1) konvergiert die Potenzreihe n=0(1)n(n2)xn und definiert eine Funktion f : (1,1)R Geben Sie einen geschlossenen Ausdruck fu¨f(x),x(1,1), an.  \begin{array}{l}{\text { } \text { () Für alle } x \in(-1,1) \text { konvergiert die Potenzreihe }} \\ {\qquad \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n-2) x^{n}} \\ {\text { und definiert eine Funktion } f:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R}} \\ {\text { Geben Sie einen geschlossenen Ausdruck für } f(x), x \in(-1,1), \text { an. }}\end{array}


Problem/Ansatz:

Leider keinen Ansatz, über Hilfe dankbar.

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Aloha :)

Gemäß der Summenformel für die geometrische Reihe gilt: n=0qn=11q\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q} für q<1|q|<1. Setzen wir speziell q=xq=-x, so gilt:n=0(x)n=11+x;x<1\sum\limits_{n=0}^\infty(-x)^n=\frac{1}{1+x}\quad;\quad |x|<1Solange man sich innerhalb des Konvergenzradius einer unendlichen Summe bewegt, darf man die Ableitung unter die Summe ziehen, daher gilt für die Ableitung:

ddx(n=0(x)n)=n=0ddx(x)n=n=1n(x)n1\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{n=0}^\infty(-x)^n\right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{d}{dx}(-x)^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}-n(-x)^{n-1}ddx(11+x)=1(1+x)2\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x}\right)=-\frac{1}{(1+x)^2}n=1n(x)n1=1(1+x)2  x\Rightarrow\quad\left.\sum\limits_{n=1}^{\infty}-n(-x)^{n-1}=-\frac{1}{(1+x)^2}\quad\right|\;\cdot xn=0n(x)n=x(1+x)2\phantom{\Rightarrow}\quad\left.\sum\limits_{n=0}^{\infty}n(-x)^n=-\frac{x}{(1+x)^2}\quad\right.Damit sind wir fertig:

n=0(1)n(n2)xn=n=0(n2)(x)n=n=0[n(x)n2(x)n]\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n(n-2)x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty(n-2)(-x)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\left[n(-x)^n-2(-x)^n\right]Da wir oben die Grenzwerte beider Teilsummen bestimmt haben, diese also existieren, gilt weiter:

=n=0n(x)n2n=0(x)n=x(1+x)221+x=3x+2(1+x)2=\sum\limits_{n=0}^\infty n(-x)^n-2\sum\limits_{n=0}^\infty(-x)^n=-\frac{x}{(1+x)^2}-\frac{2}{1+x}=-\frac{3x+2}{(1+x)^2}

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n=0n(x)n=x(1+x)2 \sum_{n=0}^{\infty} n(-x)^{n}=-\frac{x}{(1+x)^{2}}

wie fällt links das - weg?

Wir sind ausgegangen von:

n=1n(x)n1=1(1+x)2\sum\limits_{n=1}^\infty-n(-x)^{n-1}=-\frac{1}{(1+x)^2}Beide Seiten werden mit xx multipliziert. Dabei wandert das Minus auf der linken Seite zu dem xx:n=1n(x)n1x=n=1n(x)n1(x)=n=1n(x)n\sum\limits_{n=1}^\infty-n(-x)^{n-1}\cdot x=\sum\limits_{n=1}^\infty n(-x)^{n-1}\cdot(-x)=\sum\limits_{n=1}^\infty n(-x)^{n}Die rechte Seite wird durch Multiplikation mit xx einfach zu:1(1+x)2x=x(1+x)2-\frac{1}{(1+x)^2}\cdot x=-\frac{x}{(1+x)^2}Also haben wir nach Multiplikation der Ausgangsgleichung mit xx gefunden:n=1n(x)n=x(1+x)2\sum\limits_{n=1}^\infty n(-x)^{n}=-\frac{x}{(1+x)^2}

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n=0(1)nxn=11+x\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}\\

Ableiten

n=1(1)nnxn1=1(1+x)2\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n nx^{n-1}=-\frac{1}{(1+x)^2}\\

Dreimal x ranmultiplizieren:

n=1(1)nnxn+2=x3(1+x)2\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n nx^{n+2}=-\frac{x^3}{(1+x)^2}\\

links Indexshift

n=3(1)n(n2)xn=x3(1+x)2\sum \limits_{n=3}^{\infty}(-1)^n (n-2)x^{n}=-\frac{x^3}{(1+x)^2}\\

Die Summanden für n=0,1,2 dazuaddieren

n=0(1)n(n2)xn=x3(1+x)22+x\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n (n-2)x^{n}=-\frac{x^3}{(1+x)^2} -2+x\\

Avatar von 37 k

n=0(1)nxn=x1+x\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=-\frac{x}{1+x}

Ich bin zwar gerade dabei meine Antwort noch zu verbessern, aber an der Stelle habe ich keinen Fehler gemacht ;). Das ist die geometrische Reihe mit q=-x, siehe auch hier:

https://de.wikiversity.org/wiki/Alternierende_geometrische_Reihe/R/B…

Nein, hast du in der Tat nicht, ich bin (fälschlicherweise) vom Anfangswert n=1 ausgegangen.

Ich denke deine Lösung war auch in Ordnung. Du bist ja auch auf den Term x3/(1+x)2 gekommen. Den Indexfehler hätte der Fragesteller ja auch selber merken können.

Ja, das habe ich auch.n=0(1)n(n2)xn=x3(1+x)22+x\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n (n-2)x^{n}=\frac{x^3}{(1+x)^2} -2+x\\ sollte stimmen.

Ich hatte noch ein Minus vor x3/(1+x)2 vergessen, da ich zuerst 1/(1-x) abgeleitet hatte...

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