Aloha :)
Gemäß der Summenformel für die geometrische Reihe gilt: n=0∑∞qn=1−q1 für ∣q∣<1. Setzen wir speziell q=−x, so gilt:n=0∑∞(−x)n=1+x1;∣x∣<1Solange man sich innerhalb des Konvergenzradius einer unendlichen Summe bewegt, darf man die Ableitung unter die Summe ziehen, daher gilt für die Ableitung:
dxd(n=0∑∞(−x)n)=n=0∑∞dxd(−x)n=n=1∑∞−n(−x)n−1dxd(1+x1)=−(1+x)21⇒n=1∑∞−n(−x)n−1=−(1+x)21∣∣∣∣∣∣⋅x⇒n=0∑∞n(−x)n=−(1+x)2xDamit sind wir fertig:
n=0∑∞(−1)n(n−2)xn=n=0∑∞(n−2)(−x)n=n=0∑∞[n(−x)n−2(−x)n]Da wir oben die Grenzwerte beider Teilsummen bestimmt haben, diese also existieren, gilt weiter:
=n=0∑∞n(−x)n−2n=0∑∞(−x)n=−(1+x)2x−1+x2=−(1+x)23x+2