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Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text {  }  \text { () Für alle } x \in(-1,1) \text { konvergiert die Potenzreihe }} \\ {\qquad \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n-2) x^{n}} \\ {\text { und definiert eine Funktion } f:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R}} \\ {\text { Geben Sie einen geschlossenen Ausdruck für } f(x), x \in(-1,1), \text { an. }}\end{array} $$


Problem/Ansatz:

Leider keinen Ansatz, über Hilfe dankbar.

von

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Aloha :)

Gemäß der Summenformel für die geometrische Reihe gilt: \(\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\) für \(|q|<1\). Setzen wir speziell \(q=-x\), so gilt:$$\sum\limits_{n=0}^\infty(-x)^n=\frac{1}{1+x}\quad;\quad |x|<1$$Solange man sich innerhalb des Konvergenzradius einer unendlichen Summe bewegt, darf man die Ableitung unter die Summe ziehen, daher gilt für die Ableitung:

$$\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{n=0}^\infty(-x)^n\right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{d}{dx}(-x)^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}-n(-x)^{n-1}$$$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x}\right)=-\frac{1}{(1+x)^2}$$$$\Rightarrow\quad\left.\sum\limits_{n=1}^{\infty}-n(-x)^{n-1}=-\frac{1}{(1+x)^2}\quad\right|\;\cdot x$$$$\phantom{\Rightarrow}\quad\left.\sum\limits_{n=0}^{\infty}n(-x)^n=-\frac{x}{(1+x)^2}\quad\right.$$Damit sind wir fertig:

$$\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n(n-2)x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty(n-2)(-x)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\left[n(-x)^n-2(-x)^n\right]$$Da wir oben die Grenzwerte beider Teilsummen bestimmt haben, diese also existieren, gilt weiter:

$$=\sum\limits_{n=0}^\infty n(-x)^n-2\sum\limits_{n=0}^\infty(-x)^n=-\frac{x}{(1+x)^2}-\frac{2}{1+x}=-\frac{3x+2}{(1+x)^2}$$

von 11 k

$$ \sum_{n=0}^{\infty} n(-x)^{n}=-\frac{x}{(1+x)^{2}} $$

wie fällt links das - weg?

Wir sind ausgegangen von:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty-n(-x)^{n-1}=-\frac{1}{(1+x)^2}$$Beide Seiten werden mit \(x\) multipliziert. Dabei wandert das Minus auf der linken Seite zu dem \(x\):$$\sum\limits_{n=1}^\infty-n(-x)^{n-1}\cdot x=\sum\limits_{n=1}^\infty n(-x)^{n-1}\cdot(-x)=\sum\limits_{n=1}^\infty n(-x)^{n}$$Die rechte Seite wird durch Multiplikation mit \(x\) einfach zu:$$-\frac{1}{(1+x)^2}\cdot x=-\frac{x}{(1+x)^2}$$Also haben wir nach Multiplikation der Ausgangsgleichung mit \(x\) gefunden:$$\sum\limits_{n=1}^\infty n(-x)^{n}=-\frac{x}{(1+x)^2}$$

0 Daumen

Hallo,

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}\\$$

Ableiten

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n nx^{n-1}=-\frac{1}{(1+x)^2}\\$$

Dreimal x ranmultiplizieren:

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n nx^{n+2}=-\frac{x^3}{(1+x)^2}\\$$

links Indexshift

$$\sum \limits_{n=3}^{\infty}(-1)^n (n-2)x^{n}=-\frac{x^3}{(1+x)^2}\\$$

Die Summanden für n=0,1,2 dazuaddieren

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n (n-2)x^{n}=-\frac{x^3}{(1+x)^2} -2+x\\$$

von 33 k

\(\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n=-\frac{x}{1+x}\)

Ich bin zwar gerade dabei meine Antwort noch zu verbessern, aber an der Stelle habe ich keinen Fehler gemacht ;). Das ist die geometrische Reihe mit q=-x, siehe auch hier:

https://de.wikiversity.org/wiki/Alternierende_geometrische_Reihe/R/Betrag_z_kleiner_1/Aufgabe/L%C3%B6sung

Nein, hast du in der Tat nicht, ich bin (fälschlicherweise) vom Anfangswert n=1 ausgegangen.

Ich denke deine Lösung war auch in Ordnung. Du bist ja auch auf den Term x^3/(1+x)^2 gekommen. Den Indexfehler hätte der Fragesteller ja auch selber merken können.

Ja, das habe ich auch.$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n (n-2)x^{n}=\frac{x^3}{(1+x)^2} -2+x\\$$ sollte stimmen.

Ich hatte noch ein Minus vor x^3/(1+x)^2 vergessen, da ich zuerst 1/(1-x) abgeleitet hatte...

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